- Поле (алгебра)
-
По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями
(аддитивная операция, или сложение) и
(мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей
, все ненулевые элементы которого обратимы.
Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями
(сложение) и
(умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению
, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению
, и выполняется свойство дистрибутивности.
Содержание
Связанные определения
- Характеристика поля — наименьшее положительное целое число
такое, что сумма
копий единицы равна нулю:
Если такого числа не существует, то характеристика равнапо определению.
- Подполем поля
называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в
. (Подполем поля
называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в
, несущим множеством которого является подмножество несущего множества
)
- Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.
- Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
- Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.
Свойства
- Характеристика поля всегда
или простое число.
- Поле характеристики
содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел
.
- Поле простой характеристики
содержит подполе, изоморфное полю вычетов
.
- Поле характеристики
- Количество элементов в конечном поле всегда равно
— степени простого числа.
- При этом для любого числа вида
существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из
элементов, обычно обозначаемое
.
- При этом для любого числа вида
- Любой ненулевой гомоморфизм полей является вложением.
- В поле нет делителей нуля.
Примеры множеств, являющихся полями
— рациональные числа,
— вещественные числа,
— комплексные числа,
— поле вычетов по модулю
, где
— простое число.
— конечное поле из
элементов, где
— простое число,
— натуральное.
— поле рациональных функций вида
, где
и
— многочлены над некоторым полем
(при этом
, а
и
не имеют общих делителей, кроме констант).
- Числа вида
,
, относительно обычных операций сложения и умножения.
См.также
- Конечное поле
- Алгебраическая система
- Векторное пространство над полем
Ссылки
Категории:- Абстрактная алгебра
- Теория колец
- Теория полей
- Характеристика поля — наименьшее положительное целое число
Wikimedia Foundation. 2010.