Характеристика кольца

Определение

Пусть $R$ — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное $n$, что для каждого $r \in R$ выполняется равенство $nr = 0$, то наименьшее из таких чисел $n$ (скажем, $n_0$) называется характеристикой кольца $R$, а само $R$ называется кольцом положительной характеристики $n_0$. Если таких чисел не существует, то $R$ называется кольцом характеристики $0$.

Характеристика кольца $R$ обозначается символом $\mathop{\mathrm{char}} R$.

Примеры

• Характеристики кольца целых чисел $\mathbb{Z}$, поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$, поля вещественных чисел $\mathbb{R}$, поля комплексных чисел $\mathbb{C}$ равны нулю.
• Характеристика кольца вычетов $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ равна $n$.
• Характеристика конечного поля $\mathbb{F}_{p^m}$, где $p$ — простое число, $m$ — положительное целое, равна $p$.

Свойства

• Если кольцо $R \neq \{0\}$ с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику $n$, то $n$ — простое число. Следовательно, характеристика любого поля $K$ есть либо $0$, либо простое число $p$. В первом случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле изоморфное полю рациональных чисел $\mathbb{Q}$, во втором случае поле $K$ содержит в качестве подполя поле изоморфное $\mathbb{F}_p$. В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в $K$).
• Характеристикой конечного поля является простое число. Заметим, что из того, что характеристика поля конечна, не следует, что поле конечно. Примерами таких полей являются поле рациональных функций над $\mathbb{F}_p$ и алгебраическое замыкание поля $\mathbb{F}_p$.
• Если $R$ — коммутативное кольцо простой характеристики $p$, то $(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ для всех $a, b \in R$, $n \in \mathbb{N}$.

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.