Алгебра Ли

Алгебра Ли

А́лгебра Ли — объект абстрактной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитезимальных свойств групп Ли.

Названа по имени норвежского математика Софуса Ли (18421899).

Содержание

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется векторное пространство \mathfrak{L} над полем K, снабжённое билинейным отображением

\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],

удовлетворяющим следующим двум аксиомам:

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания

Примеры

3-мерное векторное пространство

Обычное трёхмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Линейные алгебры Ли

Если V — конечномерное векторное пространство над K (\mathrm{dim}\;V=n), то множество его линейных преобразований \mathrm{End}\;V — также векторное пространство над K. Оно имеет размерность \mathrm{dim}(\mathrm{End}\;V)=n^2 и может быть представлено как пространство матриц n\times n. В этом векторном пространстве задана естественная операция умножения (композиция преобразований). Определим операцию скобки Ли формулой [x,y]=xy-yx. Пространство \mathrm{End}\;V с так введённой скобкой Ли удовлетворяет всем аксиомам алгебры Ли.

Чтобы отличать получившуюся алгебру Ли от изначальной ассоциативной алгебры линейных преобразований, её обозначают \mathfrak{gl}\;(V). Эта алгебра Ли называется полной линейной алгеброй. В случае бесконечномерного пространства V также используется обозначение \mathfrak{gl}\;(V). Любая подалгебра в \mathfrak{gl}\;(V) называется линейной алгеброй Ли

Ассоциативные алгебры над K и умножение в K-модуле

Пусть \mathfrak{A} — произвольная ассоциативная алгебра над K с умножением: (x,y)xy. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над K, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение по формуле: [x, y] = xy - yx, это выражение называется коммутатором. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей

Если M — гладкое многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли. Операция, превращающая векторные поля в алгебру Ли, может быть описана несколькими эквивавалентными способами:

[X, Y] \equiv L_X Y.
  • Если на многообразии задана локальная система координат  (t_1,...,t_n), то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен
[X, Y]^i = X^j \partial_j Y^i - Y^j \partial_j X^i,

где, как обычно, подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу j и

\partial_j Y^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}Y^i(t_1,...,t_n),
\partial_j X^i(t_1,...,t_n)=\frac{\partial}{\partial t_{j}}X^i(t_1,...,t_n)

частные производные от функций Y^i(t_1,...,t_n),X^i(t_1,...,t_n) вдоль направлений tj.

  • выбрав произвольную риманову метрику на многообразии, можно показать:
[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X

где X, Y — векторные поля, а \nabla_X — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Эквивалентность с определениями данными выше показывает, что результат на самом деле не зависит от выбора метрики.

  • векторные поля взаимно однозначно соответствуют дифференцированиям алгебры функций на многообразии, коммутатор дифференцирований снова является дифференцированием (см. следующий пункт) и значит задает векторное поле.

Тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow L_X [Y,Z] = [L_X Y, Z] + [Y, L_X Z]

Замечание: группу диффеоморфизмов многообразия следует неформально считать «группой Ли» для алгебры Ли векторных полей на многообразии. Хотя в бесконечномерном случае, соответствие между группами и алгебрами Ли не носит формального характера, тем не менее многие свойства могут быть легко обобщены, (хотя некоторые перестают быть верными).

Множество всех дифференцирований K-алгебр и алгебр Ли

Дифференцированием в алгебре \mathfrak{A} называется линейное отображение \delta:\mathfrak{A}\to\mathfrak{A}, удовлетворяющее правилу Лейбница дифференцирования произведения \delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b. Совокупность всех дифференцирований \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} является векторным подпространством в \operatorname{End}\;\mathfrak{A}. Коммутатор двух дифференцирований снова является дифференцированием, поэтому \operatorname{Der}\;\mathfrak{A} — подалгебра в \mathfrak{gl(A)}.

Наряду с дифференцированиями произвольных алгебр можно рассматривать частный случай дифференцирования алгебры Ли L. В алгебрах Ли некоторые дифференцирования возникают естественным способом. Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры L вида \operatorname{ad}\;x\colon y\to[x, y]; x, y \in L. Такие дифференцирования называются внутренними , остальные — внешними. Отображение L\to\operatorname{Der}\;L;\; x\mapsto\operatorname{ad}\;x называется присоединённым представлением алгебры Ли.

Внутренние дифференцирования образуют в \operatorname{Der}(L) подалгебру \operatorname{ad}\;L, изоморфную факторалгебре L/Z(L) алгебры L по её центру Z(L):=\{x \in L \mid [x,y] = 0; \forall y\in L\}.

См. также

Литература


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Алгебра Ли" в других словарях:

  • алгебра — алгебра, ы …   Русский орфографический словарь

  • *-алгебра — (алгебра с инволюцией, алгебра с операцией сопряжения)  ассоциативная алгебра с инволюцией, которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению. Содержание 1 * кольцо 2 * алгебра 3 C* алгебра …   Википедия

  • АЛГЕБРА — (араб. al djebr восстановление разрозненных частей). Часть математики, рассматривающая общие величины, обозначая их буквами и знаками. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. АЛГЕБРА араб. al djebr,… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • Алгебра А — Базисом предложенной Крисом Дейтом и Хью Дарвеном Алгебры A являются операции реляционного отрицания (дополнения), реляционной конъюнкции (или дизъюнкции) и проекции (удаления атрибута). Реляционные аналоги логических операций определяются в… …   Википедия

  • АЛГЕБРА — АЛГЕБРА, область МАТЕМАТИКИ, посвященная изучению уравнений, содержащих цифры и буквенные обозначения, которые представляют величины, подлежащие определению. Например, у+х=8 это алгебраическое уравнение, содержащее переменные х и у. Если значение …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • АЛГЕБРА — АЛГЕБРА, часть математики, развившаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Слово алгебра арабское (аль джебр), означает один из приемов преобразования алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще с …   Современная энциклопедия

  • Алгебра — вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • алгебра — ы ж. algèbre f., нем. Algebra <ср. лат. algebra. 1380. Лексис. мат. Алгебра же назвася от изобретателя гебер нарицаемаго. Арифм. Магн. 226. Имя самое алгебры есть арапское, которые ее назыают Алжабр Валмукабала, то есть наверстать или… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Алгебра — АЛГЕБРА, часть математики, развившаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Слово “алгебра” арабское (аль джебр), означает один из приемов преобразования алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • АЛГЕБРА — (араб.) часть математики, развивающаяся в связи с задачей о решении алгебраических уравнений. Решение уравнений 1 й и 2 й степеней известно еще с древности. В 16 в. итальянскими математиками найдены решения уравнений 3 й и 4 й степеней. К.… …   Большой Энциклопедический словарь

  • АЛГЕБРА — АЛГЕБРА, алгебры, мн. нет, жен. (от араб.). Отдел математики, часть математического анализа (см. анализ). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

Книги

  • Алгебра, Ван дер Варден. Книга Б. Л. ван дер Вардена (1903–1996) уже давно получила широкое признание читательской аудитории и является классическим учебником основ алгебры. Доступность и простота удачно сочетаются… Подробнее  Купить за 1832 руб
  • Алгебра, Ленг С.. Автор книги, видный американский математик, профессор Колумбийского университета С. Ленг, хорошо знаком советскому читателю по двум вышедшим ранее монографиям "Алгебраические числа"… Подробнее  Купить за 1682 руб
  • Алгебра, Н. Бурбаки. Группа французских математиков, объединенных под псевдонимом "Бурбаки", поставила перед собой цель — написать под общим заглавием" Элементы математики" полный трактат по современной… Подробнее  Купить за 1435 руб
Другие книги по запросу «Алгебра Ли» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»