Коммутатор операторов

Коммутатором операторов $\hat A$ и $\hat B$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор $[\hat A, \hat B] = \hat A \hat B - \hat B \hat A$. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

Тождества с коммутатором

• Антикоммутативность: $[A,B] = -[B,A].$ Из этого тождества следует что $[A,A]=0.$

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• $[A,BC] = [A,B]C + B [A,C].$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_A = [A,\cdot].$ По этой причине оператор $D_A$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор $\tilde D_A = [\cdot,A].$
• Тождество Якоби: $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$ Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• $[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
• $[[[A,B], C], D] + [[[B,C], D], A] + [[[C, D], A], B] + [[[D, A], B], C] = [[A, C], [B, D]]$

Коммутатор в квантовой механике

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора $\hat F$ физической величины $f$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам $\hat F$, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

$\hat F \mathcal{j}\psi \mathcal{i}= f \mathcal{j} \psi \mathcal{i}$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

$\hat F \hat G \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = g f \mathcal{j} \psi \mathcal{i} = \hat G \hat F \mathcal{j} \psi \mathcal{i}$

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) $\hat p_x = - i \hbar \frac {\partial}{\partial x}$ и соответствующей координаты $\hat x = x$ (см. соотношение неопределённостей).

Законы сохранения

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

$\imath \hbar \frac {\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi$

и определения полной производной оператора по времени

$\dot {\hat f} = \hat {\dot f}$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

$\dot {\hat f} = [\hat H, \hat f]+ \frac {\partial \hat f}{\partial t}$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

$\dot f = \mathcal{f} H,f \mathcal{g} + \frac {\partial f}{\partial t}$

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Некоторые соотношения коммутации

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

$\hat r_i, \hat p_i, \hat L_i$ — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; $\delta_{i j}$ — дельта Кронекера; $e_{i j k}$ — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

$[\hat r_i, \hat p_j] = \imath \hbar \delta_{i j}$

$[\hat p, f(\vec r)] = - \imath \hbar \nabla f$

$[\hat L_i, \hat r_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat r_k$

$[\hat L_i, \hat p_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat p_k$

$[\hat L_i, \hat L_j] = \imath \hbar e_{i j k}\hat L_k$

$[\hat L^2, \hat L_i] = 0$

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: $\ \hat L_j = \hbar \hat l_j$

$[\hat l_i, \hat r_j] = \imath e_{i j k}\hat r_k$

$[\hat l_i, \hat p_j] = \imath e_{i j k}\hat p_k$

$[\hat l_i, \hat l_j] = \imath e_{i j k}\hat l_k$

$[\hat l^2, \hat l_i] = 0$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно z) и квадрат его длины.

Алгебра Ли физических величин

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующие величины

Некоммутирующими величинами A и B называются величины, коммутатор которых $[A,B] = AB - BA \neq 0$.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда когда их операторы коммутируют^[1].

Литература

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5

См. также

• Теория операторов
• Поле Киллинга

Примечания

1. ↑ 3.7. Одновременное измерение разных физических величин