Тождество Якоби

Билинейная операция $[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V$ на линейном пространстве $V$ называется удовлетворяющей тождеству Якоби, если:

$\forall \, x,y,z \in V\colon [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0$

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение $[\cdot,\cdot]$ антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

$\mathrm{ad}_x \colon y \mapsto [x,y]$

Записав тождество Якоби в форме

$[x,[y,z]] = [y,[x,z]] + [[x,y],z]$

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора $\mathrm{ad}_x$:

$\mathrm{ad}_x\,[y,z] = [\mathrm{ad}_x\,y,z] + [y, \mathrm{ad}_x\,z]$

Таким образом, $\mathrm{ad}_x$ — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

$\mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x, \mathrm{ad}_y] = \mathrm{ad}_x \mathrm{ad}_y - \mathrm{ad}_y \mathrm{ad}_x$

Это означает, что оператор $\mathrm{ad}$ задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть $\Omega = \oplus_{i} \Omega^i$ — градуированная алгебра, $[\cdot,\cdot]$ - умножение в ней. Говорят, что умножение в $\Omega$ удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов $\omega_i \in \Omega^i$

$[\omega_m,[\omega_k,\omega_l] = [[\omega_m,\omega_k],\omega_l] + (-1)^{m k}[\omega_k,[\omega_m,\omega_l]$

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 15 мая 2011.