Произведение мер

Произведение мер

Произведе́ние ме́р в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — формальный способ построить меру на декартовом произведении двух пространств с мерами.

Содержание

Построение

Пусть (X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2 — два пространства с мерами. Тогда X_1\times X_2 — декартово произведение множеств X_1 и X_2.

\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2 является семейством подмножеств X_1\times X_2. Оно, вообще говоря, не замкнуто относительно счётных объединений, и следовательно не является \sigma-алгеброй. Введём обозначение

\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2=\sigma(\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2)

— минимальная \sigma-алгебра, содержащая \mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2. Тогда (X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2) — измеримое пространство. Определим на нём меру \mu_1\otimes\mu_2\colon\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2\to\R следующим образом:

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\mu_1(A_1)\cdot\mu_2(A_2),\quad\forall A=A_1\times A_2\in\mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2.

Тогда \mu_1\otimes\mu_2 продолжается единственным образом с \mathcal{F}_1\times\mathcal{F}_2 на \mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2:

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_2}\mu_1(A_{x_2})\,\mu_2(dx_2),\quad A\in\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2

или

\mu_1\otimes\mu_2(A)=\int\limits_{X_1}\mu_2(A_{x_1})\,\mu_1(dx_1),

где

A_{x_2}=\{x_1\in X_1\mid(x_1,\;x_2)\in A)\} — сечение A вдоль x_2\in X_2, а
A_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid(x_1,\;x_2)\in A)\} — сечение A вдоль x_1\in X_1.

Получившаяся мера \mu_1\otimes\mu_2 называется произведением мер \mu_1 и \mu_2. Пространство с мерой (X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2) называется (прямым) произведением исходных пространств.

Замечания

\mathbb{P}^{X,\;Y}=\mathbb{P}^X\otimes\mathbb{P}^Y.

Пример

Мера Лебега m_n на \R^n может быть получена как произведение n одномерных мер Лебега m_1 на \R:

\mathcal{B}(\R^n)=\bigotimes\limits_{i=1}^n\mathcal{B}(\R),

где \mathcal{B}(X) обозначает борелевскую \sigma-алгебру на пространстве X, и

m_n=\bigotimes\limits_{i=1}^n m_1.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Произведение мер" в других словарях:

  • Таблицы для перевода метрических (десятичных) мер в русские и русских — в метрические. — В Энциклопедическом Словаре принято употребление вообще десятичных мер, система которых по простоте своей обещает скоро сделаться международной. Основной единицей ее служит метр, французская мера длины, которой величина узаконена 7 го апреля 1795 …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Таблицы для перевода метрических (десятичных) мер в русские и русских — в метрические — В Энциклопедическом Словаре принято употребление вообще десятичных мер, система которых по простоте своей обещает скоро сделаться международной. Основной единицей ее служит метр, французская мера длины, которой величина узаконена 7 го апреля 1795 …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Независимость (теория вероятностей) — У этого термина существуют и другие значения, см. Независимость (значения). В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные …   Википедия

  • Свёртка (математический анализ) — У этого термина существуют и другие значения, см. Свёртка. Свёртка функций  операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых …   Википедия

  • Свертка (математический анализ) — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свертка распределений — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свертка функций — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свёртка распределений — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свёртка функций — в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1 Свойства 2 Свёртка …   Википедия

  • Теорема Тонелли — Фубини — Теорема Тонелли  Фубини в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным. Содержание 1 Формулировка 2 Частные случаи …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»