Ядро Дирихле

Ядро Дирихле — $2\pi$-периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

$D_n(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}.$

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и ее приближениями в пространстве $L_2[-\pi,\pi)$.

Соотношение с рядом Фурье

Пусть $f(x)$ — интегрируема на $[-\pi, \pi]$ и $2\pi$-периодическая, тогда $\forall x \in \mathbb{R}~\forall n \in \mathbb{N}$

$S_n(f;x) = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)D_n(u)du$

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

$S_n(f;x) = \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n} (a_k\cos(kx) + b_k \sin(kx))\qquad(1)$ $S_n(f;x)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)dt + \sum_{k=1}^n\left[\left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx) + \left(\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad(2)$ $S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(kt)\cos(kx) + \sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad(3)$

Применяя формулу разности косинусов к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

$S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\left[\frac1{2} + \sum_{k=1}^n\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad(4)$

Рассмотрим сумму косинусов: $\frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)$

Умножим каждое слагаемое на $2\sin(\frac\alpha{2})$ и преобразуем по формуле $2\sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)$

$2\sin(\frac\alpha{2})\left(\frac1{2}+\cos\alpha+\cos(2\alpha)+...+\cos(n\alpha)\right) = \sin\frac\alpha{2} - \sin\frac\alpha{2} + \sin\frac{3\alpha}{2} - \sin\frac{3\alpha}{2} + ... + \sin(n+\frac{1}{2})\alpha = \sin(n+\frac{1}{2})\alpha$

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

$S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})(t-x)}{2\sin\frac{t-x}{2}}dt\qquad(5)$

Сделаем замену переменного $u = t - x$

$S_n(f;x)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\pi - x}^{\pi - x}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du = \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\frac{\sin(n+\frac{1}{2})u}{2\sin\frac{u}{2}}du\qquad(6)$

Свойства ядра Дирихле

• $D_n(x)$ — функция $2\pi$-периодическая и четная.
• $\forall n \in \mathbb{N}~ \frac1{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}D_n(u)du = 1$

См. также

• Сопряжённое ядро Дирихле
• Ядро Фейера
• Ядро Джексона