- Ядро Дирихле
-
Ядро Дирихле —
-периодическая функция, задаваемая следующей формулой:
Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и ее приближениями в пространстве
.
Содержание
Соотношение с рядом Фурье
Пусть
— интегрируема на
и
-периодическая, тогда
Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.
Доказательство
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.
Применяя формулу разности косинусов к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:
Рассмотрим сумму косинусов:
Умножим каждое слагаемое на
и преобразуем по формуле
Применяя это преобразование к формуле (4), получим:
Сделаем замену переменного
Свойства ядра Дирихле
— функция
-периодическая и четная.
См. также
Категории:- Математический анализ
- Теория приближений
Wikimedia Foundation. 2010.