Ядро Джексона

Ядром Джексона в теории приближений называется $2 \pi$-периодическая функция, задающаяся формулой:

$d_n(t)=\gamma_n\left(\frac{sin\frac{nt}{2}}{sin\frac{t}{2}}\right)^4$

Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов – Данхэма Джексона (англ. Dunham Jackson).

Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.

Константа ядра Джексона

Константа $\gamma_n$ определяется из соотношения $\int\limits_\mathbb{T}{d_n(t)dt}=1, \mathbb{T} = [-\pi;\pi]$ и равна $\gamma_n=\frac{3}{2\pi n(2n^2+1)}$

Доказательство

Используем равенство Парсеваля для случая пространства L₂:

Если $f \in \mathbb{L}_2$, то верно следующее тождество: $\int\limits_Q{f^2} = \pi \left(\frac{a_0^2}{2} + \sum\limits_{n=0}^\infty{\left(a_n^2 + b_n^2\right)}\right)$

Необходимо подставить в это равенство $f = \left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^2$

Предварительно необходимо написать выражение для $\left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^2$, используя ядро Фейера и ядро Дирихле:

$\Phi_{n-1}(t) = \frac {1} {2 \pi n} \left( \frac {\sin {\frac {nt} {2}}} {\sin {\frac {t} {2}}} \right)^2 = \frac {1} {n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} {D_k(t)} =$
$= \frac {1} {n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} {\frac {1} {\pi} \left( \frac {1} {2} + \sum\limits_{j=1}^k {\cos{jt}} \right) }$

Из этого следует, что

$\left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^2 = 2 \pi n \frac {1} {n} \sum\limits_{k=0}^{n-1} {\frac {1} {\pi} \left( \frac {1} {2} + \sum\limits_{j=1}^k {\cos{jt}} \right) } = n + 2 \sum\limits_{k=0}^{n-1}{\sum\limits_{j=1}^{k}{\cos{jt}} }$

Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:

$\left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^2 = n + 2 \sum\limits_{j=1}^{n-1}\sum\limits_{k=1}^{n-j}{\cos{jt}} = n + \sum\limits_{j=1}^{n-1} {(n-j) \cos {jt}}$

Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, т.е. $a_0 = 2n, a_k = k-j (0 < k < n), a_k = 0 (k > n-1) , b_k = 0$

Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:

$\int\limits_Q{\left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^4} = \pi \left(2n^2 + 4\sum\limits_{j=1}^{n-1}{\left(n-j\right)^2}\right) = \pi \left( 2n^2 + 4 \sum_{j=1}^{n-1}{j^2} \right) = \pi \left( 2n^2 + 4 \left( \frac {n(n-1)(2n-1)} {6} \right) \right) =$
$= \pi \left( \frac {12n^2 + 8n^3 - 12n^2 + 4n} {6} \right) = \frac {2 \pi n (2n^2 + 1)} {3}$
А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:
$\gamma_n = \frac {1} {\int\limits_Q{\left(\frac{\sin\frac{nt}{2}}{\sin\frac{t}{2}}\right)^4}} = \frac {3} {2 \pi n (2n^2 + 1)}$
Таким образом, утверждение о константе доказано.

См. также

• Тригонометрический ряд Фурье
• Неравенство Джексона — Стечкина
• Ядро Дирихле
• Ядро Фейера
• A.V. Efimov Jackson Singular Integral (2001). Архивировано из первоисточника 26 мая 2012. Проверено 11 октября 2010.
• A. Shadrin Approximation Theory – Lecture 9 (University of Cambridge - Department of Applied Mathematics and Theoretical Physics) (2005). Архивировано из первоисточника 26 мая 2012. Проверено 11 октября 2010.
• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
• Бари Н.К. Тригонометрические ряды. — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — С. 936.
• D. Jackson The theory of approximation. — Amer. Math. Soc., 1930.