Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ (где $\mathbb{R}$ обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y,z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1. $d(x,y) = 0\Leftrightarrow x=y$ (аксиома тождества).
2. d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть $d(x,y)\geqslant 0$ (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

• d(x,y),
• | xy | или | xy | _M , если необходимо подчеркнуть что речь идет о M,
• xy
• | x − y |

Примеры

• Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x = y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

• Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y) = | y − x | и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

• Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния $d(x,y)=\|y-x\|$, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского^[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).

• Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

• Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

• Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

$D(x,y)=\inf\{r\mid\quad \forall x\in X~\exist y\in Y: d(x,y)<r,\quad\forall y\in Y~\exists x\in X: d(x,y)<r \}$

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
• Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y).
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

$B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}$,

где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки $x\in O$ найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

$d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}$

Тогда d(x,S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

Для данного множества $~M$, функция $d\colon M\times M\to \mathbb{R}$ называется псевдометрикой или полуметрикой на $~M$ если для любых точек $~x,y,z$ из $~M$ она удовлетворяет следующим условиям:

1. $~d(x,x)=0$ ;
2. $~d(x,y)=d(y,x)$ (симметрия);
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в $~M$ могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\!\sim$ где $x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0$.

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех $~x$, $~y$ и $~z$ в $~M$ $d(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z))$.

Иногда рассматривают метрики со значениями $[0;\infty]$, соответствующие пространства называются $\infty$-метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику $d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}$ или $~d''(x,y)=\min{(1,d(x,y))}$. Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства^[2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

1. ↑ К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
2. ↑ M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

См. также

• Индуцированная метрика

Литература

• Н.Васильев,
  • Метрические пространства Квант, №1, 1990;
  • Метрические пространства Квант, №10, 1970.
• В.А.Скворцов, Примеры метрических пространств, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 9, (2001).
• Ю.А.Шрейдер Что такое расстояние?, «Популярные лекции по математике», Выпуск 38, Физматгиз 1963 г., 76 стр.

Ссылки