Полное метрическое пространство

Полное метрическое пространство

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

Содержание

Формальное определение

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) d\colon M\times M\to \mathbb{R} (где \mathbb{R} обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y,z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

  1. d(x,y) = 0\Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).
  2. d(x,y) = d(y,x) (аксиома симметрии).
  3. d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно, то есть d(x,y)\geqslant 0 (это вытекает из аксиомы треугольника при z = x) и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Обозначения

Обычно расстояние между точками x и y в метрическом пространстве M обозначается

  • d(x,y),
  • | xy | или | xy | M , если необходимо подчеркнуть что речь идет о M,
  • xy
  • | xy |

Примеры

  • Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x,y)=\|y-x\|, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского[1] (не надо путать с другим пространством Минковского).
  • Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.
  • Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:
D(x,y)=\inf\{r\mid\quad \forall x\in X~\exist y\in Y: d(x,y)<r,\quad\forall y\in Y~\exists x\in X: d(x,y)<r \}
  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.

Связанные определения

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
  • Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y).
  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:
B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},
где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O является открытым, если для любой точки x\in O найдётся положительное число r, такое, что множество точек на расстоянии меньше r от x принадлежит O.
  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
  • Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:
d(x,S)=\inf\{d(x,s)\mid s\in S\}
Тогда d(x,S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

Свойства

  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

Вариации и обобщения

Для данного множества ~M, функция d\colon M\times M\to \mathbb{R} называется псевдометрикой или полуметрикой на ~M если для любых точек ~x,y,z из ~M она удовлетворяет следующим условиям:

  1. ~d(x,x)=0 ;
  2. ~d(x,y)=d(y,x) (симметрия);
  3. d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z) (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в ~M могут находится на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/\!\sim где x\sim y \Leftrightarrow d(x,\,y)=0.

Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

Для всех ~x, ~y и ~z в ~M d(x,z)\leqslant\max(d(x,y),d(y,z)).

Иногда рассматривают метрики со значениями [0;\infty], соответствующие пространства называются \infty-метрическими пространствами. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} или ~d''(x,y)=\min{(1,d(x,y))}. Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[2] в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Примечания

  1. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, Определение 11.2
  2. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74,

См. также

Литература

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Полное метрическое пространство" в других словарях:

  • ПОЛНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — метрическое пространство, в к ром каждая фундаментальная, пли сходящаяся в себе, последовательность сходится. П. м. п. частный случай полного равномерного пространства. м. И. Войцеховский …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — равномерное пространство, в к ром всякий Коши фильтр сходится. Важнейший пример П …   Математическая энциклопедия

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… …   Математическая энциклопедия

  • КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — концепция метрич. пространства, используемая в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. Список где некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р… …   Математическая энциклопедия

  • Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства). В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция… …   Википедия

  • Пространство Урысона — Пространство Урысона  полное сепарабельное метрическое пространство , обладающее следующими двумя свойствами: Любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству . Для любых двух конечных изометричных его подмножеств… …   Википедия

  • Полное пространство —         Метрическое пространство, в котором выполнен признак сходимости (См. Сходимость) Коши. Последовательность точек x1, х,..., xn,... на прямой, в плоскости или пространстве называемом фундаментальной, если при достаточно больших номерах n и… …   Большая советская энциклопедия

  • Полное изменение — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • Полное изменение функции — В математическом анализе вариацией функции называется числовая характеристика функции одного действительного переменного, связанная с её дифференциальными свойствами. Для функции из отрезка на вещественной прямой в является обобщением понятия… …   Википедия

  • Пространство Lp — Для термина «Lp» см. другие значения. Пространства Lp (читается «эль пэ»)  это пространства измеримых функций таких, что их p я степень интегрируема, где . Lp  важнейший класс банаховых пространств. В дополнение, L2 (читается «эль… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»