ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ

- неособая полная алгебраическая кривая рода 1. Теория Э. к. является истоком большей части современной алгебраич. геометрии. Но исторически теория Э. к. возникла как часть анализа, как теория эллиптических интегралов и эллиптических функций.
Примеры. Неособая проективная плоская кубич. кривая, пересечение двух неособых квадрик в трехмерном проективном пространстве, двулистное накрытие проективной прямой, разветвленное ровно в четырех точках, а также одномерное абелево многообразие и главное однородное пространство над ним являются Э. к.
Геометрия Э. к. Пусть X - Э. к. над алгебраически замкнутым полем k. Тогда Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (см. [1], [9], [13]). Если то в проективной плоскости Р ² существует аффинная система координат, в к-рой Xимеет уравнение в нормальной форме Вейерштрасса

Кривая Xнеособа тогда и только тогда, когда многочлен х ³+ах+b не имеет кратных корней, т. е. дискриминант В Р ² кривая (1) имеет единственную точку на бесконечности, к-рую обозначают Р ₀; Р₀ - точка перегиба кривой (1), а касательная в P₀ - бесконечно удаленная прямая, j-инвариант Э. к. X

не зависит от выбора системы координат. Равенство j-инвариантов двух Э. к. равносильно тому, что эти Э. к. бирегулярно изоморфны. Для любого найдется Э. к. Xнад kс j(X)=j.
Групповая структура на Э. к. Пусть - фиксированная точка Э. к. X. Отображение сопоставляющее точке дивизор Р-Р₀ на Э. к. X, устанавливает взаимно однозначное соответствие между Э. к. Xи группой классов дивизоров степени 0 на X, т. е. Пикара многообразием кривой X. Это соответствие переносит на Xструктуру коммутативной группы, к-рая согласована со структурой алгебраич. многообразия и превращает X в одномерное абелево многообразие (X, Р₀); точка Р ₀ при этом является нулем группы. Введенная групповая структура допускает следующее геометрич. описание. Пусть - плоская кубич. кривая. Тогда сумма точек Ри Qопределяется правилом где - третья точка пересечения кривой Xс прямой, проходящей через точки Ри Q. Иначе говоря, сумма трех точек на Xравна нулю тогда и только тогда, когда они лежат на одном прямой.
Э. к. как одномерное абелево многообразие. Пусть п _X обозначает эндоморфизм умножения на в (X, Р ₀). Если (Y, Q₀) - Э. к. с отмеченной точкой Q₀,то любое рациональное отображение имеет вид f(P) = h(P)+Q₁, где - гомоморфизм абелевых многообразий. При этом гомоморфизм hявляется либо постоянным отображением в точку Q₀, либо изогенией, т. е. существует гомоморфизм абелевых многообразий такой, что для нек-рого п(см. [1], [6]).
Группа автоморфизмов Э. к. А* действует транзитивно на А. а ее подгруппа G=Aut(X, P₀) автоморфизмов, оставляющих на месте точку Р ₀, нетривиальна и конечна. Пусть char kотлична от 2 и 3. Если j(X)не равно 0 или 1728, то группа Gсостоит из двух элементов 1_X и (- )_X. Порядок Gравен 4 при j(X) =1728 и 6 при j(X)=0 (см. [1], [6], [13]).
Важным инвариантом Э. к. является кольцо эндоморфизмов R=End(X, P₀) абелева многообразия (X, Р ₀). Отображение определяет вложение Если то говорят, что X - Э. к. с комплексным умножением. Кольцо R может быть одного из следующих типов (см. [1], [9], [13]): I. II.Здесь -кольцо целых алгебраич. чисел мнимого квадратичного поля III. R - некоммутативная -алгебра ранга 4 без делителей нуля. В этом случае р=char k>0 и R- порядок в алгeбре кватернионов над разветвленной только в р и Такие Э. к. существуют для всех ри наз. сулерсингулярными; несунерсингулярные Э. к. в характеристике р наз. обыкновенными Э. к.
Группа Х _n= Кеr п _X точек Э. к. X, порядок к-рых делит п, имеет следующую структуру: если (n, char k) = 1. При р = char k > 0 для обыкновенных Э. к. а для суперсингулярных Э. к. Для простого Тейта модуль T_l(X)изоморфен
Э. к. над незамкнутыми полями. Пусть X - Э. к. над произвольным полем k. Если множество k-рациональных точек X(k)кривой Xнепусто, то Xбирегулярно изоморфна плоской кубич. кривой (1) с 3). Бесконечно удаленная точка P₀ кривой (1) определена над k. Как и выше, можно определить групповую структуру на кривой (1), превращающую Xв одномерное абелево многообразие над k, а множество X(k)в коммутативную группу с нулем P₀. Если kконечно порождено над своим простым под-полем, то X(k) - группа с конечным числом образующих (теорема Морделла - Вейля).
Для любой Э. к. Xопределено Якоби многообразие J(X), являющееся одномерным абелевым многообразием над k. Э. к. Xявляется главным однородным пространством над J(X). Если множество X(k)непусто, то выбор точки задает изоморфизм X~J(X), при к-ром точка Р ₀ переходит в нуль группы J(X). В общем случае Э. к. Xи J(X)изоморфны над конечным расширением поля k(см. [1], [4), [13]).
Э. к. над полем комплексных чисел. Э. к. Xнад является компактной римановой поверхностью рода 1 и обратно. Групповая структура превращает Xв комплексную группу Ли, являющуюся одномерным комплексным тором где -решетка в комплексной плоскости Обратно, любой одномерный комплексный тор является Э. к. (см. [3]). С топологич. точки зрения Э. к.- двумерный тор.
Теория Э. к. над полем по существу, эквивалентна теории эллиптич. функций. Отождествление тора с Э. к. осуществляется следующим образом. Эллиптич. функции с данной решеткой периодов L образуют поле, порожденное -функцией Вейерштрасса (см. Вейерштрасса эллиптические функции )и ее производной к-рые связаны соотношением
Отображение индуцирует изоморфизм тора и Э. к. с уравнением у ²=4x³-g₂x-g₃. Отождествление Э. <к. X, заданной уравнением (1), с тором осуществляется с помощью криволинейных интегралов от голоморфной формы и приводит к совпадению Э. <к. X с ее многообразием Якоби J(X).
Описание множества всех Э. <к. как торов приводит к модулярной функции Две решетки и определяют изоморфные торы тогда и только тогда, когда они подобны, т: е. одна получается из другой умножением на комплексное число. Поэтому можно считать, что решетка порождена числами 1 и из Две решетки с базисами 1, и 1, подобны тогда н только тогда, когда для нек-рого элемента модулярной группы Г. Модулярная функция

наз. также абсолютным инвариантом; тогда и только тогда, когда для нек-рого и функция осуществляет взаимно однозначное соответствие между классами изоморфных Э. к. над С и комплексными числами. Если то
Э. к. Xесть Э. к. с комплексным умножением тогда и только тогда, когда - мнимая квадратическая иррациональность. В этом случае R - подкольцо конечного индекса в кольце целых алгебраич. чисел мнимого квадратичного поля Э. к. с комплексным умножением тесно связаны с полей классов теорией для мнимых квадратичных полей (см. [4], [8]).
Арифметика Э. к. Пусть X- Э. к. над конечным полем kиз qэлементов. Множество X(k)всегда непусто и конечно. Тем самым Xснабжается структурой одномерного абелева многообразия над k, а X(k) - структурой конечной коммутативной группы. Порядок Агруппы Х(k)удовлетворяет неравенству Многочлен t²-(q+1-A)t+q есть характеристич. многочлен Фробениуса эндоморфизма, действующего на модуле Тейта Его корни - комплексно сопряженные целые алгебраич. числа, по модулю равные Для любого конечного расширения k_n поля kстепени ппорядок группы X(k_n )равен Дзета-функция Э. к. Xравна

Для любого целого алгебраического лежащего в нек-ром мнимом квадратичном поле (или в и по модулю равного найдется такая Э. к. X над k, что порядок группы X(k) равен
Пусть k - поле p-адических чисел или его конечное алгебраич. расширение, В - кольцо целых поля k, X - Э. к. над k и пусть множество X(k)непусто. Групповая структура превращает X(k)в коммутативную компактную одномерную Ли р-адическую группу. Группа X(k)двойственна по Понтрягину к Вейля- Шатле группе WC(k, X). Если то X -кривая Тейта (см. [1], 15]) и существует канонич. униформизация группы X(k), аналогичная случаю поля
Пусть X - Э. к. над и множество непусто. Тогда А бирегулярно изоморфна кривой (1) с Из всех кривых вида (1) с целыми аи b, изоморфных X, выбирается такая, для к-рой абсолютная величина дискриминанта минимальна. Кондуктор N и L- функция L(X, s) Э. к. X определяются как формальные произведения локальных множителей

по всем простым р(см. [1], [5], [13]). Здесь f_p- нек-рая степень р, L_p(X, s) - мероморфная функция комплексного переменного s, не имеющая ни нуля, ни полюса при s=l. Чтобы определить локальные множители, рассматривается редукция кривой Х по модулю - плоская проективная кривая X _р над полем вычетов заданная в аффинной системе координат уравнением

Пусть А _р - число -точек на Х _р. Если рне делит то Х _р - Э. к. <над и полагают

Если рделит то многочлен имеет кратный корень и полагают

(в зависимости от того, является этот корень трехкратным или нет). Произведение (2) сходится в правой полуплоскости Предполагается, что L(X,s )мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость и что функция

(Г(s) -гамма-функция )удовлетворяет функциональному уравнению с (см. [5], [13]). Эта гипотеза доказана для Э. к. с комплексным умножением.
Группа изоморфна где -конечная абелева группа, a F - свободная абелева. группа нек-рого конечного ранга r. Группа изоморфна одной из следующих 15 групп (см. [11]): или т=12 и Число rназ. рангом Э. к. над или -рангом. Известны примеры Э. к. над ранга Имеется предположение (см. [1], [13]), что над Qсуществуют Э. к. сколь угодно большого ранга.
Для изучения группы используется высота Тейта являющаяся неотрицательно определенной квадратичной формой на (см. [1], [3], [8], а также Высота в диофантовой геометрии). Для любого множество конечно. В частности, обращается в 0 в точности на подгруппе кручения
Важным инвариантом Э. к. Xявляется ее группа Тейта - Шафаревича Ш (X)(см. Вейля- Шатле группа). Нетривиальные элементы группы Ш(Х) - Э. к., не имеющие -точек,- доставляют примеры Э. к., для к-рых не выполнен Хассе принцип. Группа Ш(Х) периодична и для любого пподгруппа ее элементов, порядки к-рых делят и, конечна. Для большого числа Э. к. проверена конечность 2- и 3-компонент группы Ш (см. [1], [4], [5]). Имеется гипотеза, что и группа Ш конечна.
Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера (см. [5], [13]) утверждает, что порядок нуля L-функции L(X, s )при s=l равен -рангу Э. к. X. В частности, L(X, s )имеет нуль при s=1 тогда и только тогда, когда группа бесконечна. Гипотеза не доказана ни для одной Э. к. (1984), хотя для Э. к. с комплексным умножением (и f=1) установлено, что бесконечность влечет за собой наличие нуля у L-функция при s=1 (см. [14]). Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера дает главный член асимптотики L-функции при в к-рый входят порядки групп Ш(X)и определитель высоты Тейта [1]. Эта гипотеза допускает переформулировку в терминах Тамагавы чисел (см. [7]).
Предполагается (гипотеза Вейля), что существует униформизация Э. к. Xмодулярными функциями относительно конгруэнц-подгрунпы Г ₀(N)модулярной группы Г (см. [5], а также Дзета-функция в алгебраич. геометрии). Эта гипотеза доказана для Э. к. с комплексным умножением. Известно (см. [15]), что всякая алгебраич. кривая над униформизуется модулярными функциями относительно нек-рой подгруппы конечного индекса группы Г.

Лит.:[1] Касселс Дж., лМатематика