- РАСШИРЕНИЕ
алгебры Л и Sс ядром А - алгебра Ли G с эпиморфизмом
, ядром к-рого служит идеал AМG, это равносильно заданию точной последовательности
Р. наз. р а с щ е п и м ы м, если существует подалгебра SМS такая, что
(прямая сумма модулей). Тогда j индуцирует изоморфизм 
, и потому определено действие алгебры Sна Адифференцированиями. Обратно, по любому гомоморфизму 
, где Der A - алгебра дифференцирований алгебры А, однозначно строится расщепимое расширение 
с законом умножения
Для конечномерных алгебр Ли над полем характеристики 0 справедлива т е о р е м а Л е в и: если Sполупроста, то всякое расширение алгебры Sрасщепимо. Из нерасщепимых Р. наиболее изучены абелевы Р., то есть Р. с абелевым ядром А. В этом случае действие алгебры G на Аиндуцирует действие алгебры
на А, то есть Аесть S-модуль. Для алгебр Ли над полем всякое абелево Р. алгебры S, ядром к-рого служит S-модуль А, имеет вид 
со следующим законом умножения:
где
- нек-рое линейное отображение 
Тождество Якоби равносильно тому, что 
- двумерный коцикл (см. Когомологии алгебр Ли). Р., к-рым эквивалентны когомологичные коциклы, эквивалентны в естественном смысле; в частности, Р. расщепимо тогда и только тогда, когда 
когомологичен нулю. Таким образом, абелевы Р. алгебры Sсядром Аописываются группой когомологий H2(S, А). К случаю абелевых Р. сводится изучение Р. с разрешимым ядром.
Лит.:[1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964. А. К. Толпыго.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
