Теорема Тонелли

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с $\sigma$-конечными мерами $(X_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mu_i),\;i=1,\;2$. Обозначим через $(X_1\times X_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mu_1\otimes\mu_2)$ их произведение. Пусть функция $f\colon X_1\times X_2\to\R$ интегрируема относительно меры $\mu_1\otimes\mu_2$. Тогда

• функция $x_1\to\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2)$ определена и интегрируема относительно $\mu_1$;
• функция $x_2\to\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1)$ определена и интегрируема относительно $\mu_2$;
• имеют место равенства

$\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_1}\left[\;\,\int\limits_{X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_2(dx_2)\right]\,\mu_1(dx_1)$

и

$\iint\limits_{X_1\times X_2}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1\otimes\mu_2(dx_1\,dx_2)=\int\limits_{X_2}\left[\;\,\int\limits_{X_1}f(x_1,\;x_2)\,\mu_1(dx_1)\right]\,\mu_2(dx_2).$

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $(\Omega_i,\;\mathcal{F}_i,\;\mathbb{P}_i),\;i=1,\;2$ — вероятностные пространства, и $X\colon\Omega_1\times\Omega_2\to\R$ — случайная величина на $(\Omega_1\times\Omega_2,\;\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,\;\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2)$. Тогда

$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1\otimes\mathbb{P}_2}[X]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}[X]\right]=\mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left[\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}[X]\right],$

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f\colon D=[a,\;b]\times[c,\;d]\to\R$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,\;b]\times[c,\;d]$, то есть $f\in\R(D)$. Тогда

$\iint\limits_D f(x,\;y)\,dx\,dy=\int\limits_a^b\int\limits_c^d f(x,\;y)\,dy\,dx=\int\limits_c^d\int\limits_a^b f(x,\;y)\,dx\,dy,$

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Доказательство

Любое разбиение $\lambda$ множества $[a,\;b]\times[c,\;d]$ получено некоторыми разбиениями $\lambda_{x}$ отрезка $X=[a,\;b]$ и $\lambda_{y}$ отрезка $[c,\;d]$, при этом объём любого прямоугольника $X_{i}\times Y_{j}$ определяется $V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot\left|Y_{j}\right|$, где $X_{i},Y_{j}$ ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла $\int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy$ и нижних и верхних интегральных сумм функции $\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)$ и $\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)$:
$\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\inf\limits _{{x\in X_{i}, y\in Y_{j}} }f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq\sum\limits _{i}\inf\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\inf\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
$\sum\limits_{i}\inf\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|\leq\int\limits _{X}\,dx\int\limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\, dy\leq\sum\limits _{i}\sup\left(\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy\right)\left|X_{i}\right|$
$\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)=\sum\limits _{i,j}\sup\limits _{{x\in X_{i},y\in Y_{j}} }f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq\sum\limits _{i}\sup\limits _{x\in X_{i}}\left(\sum\limits _{i}\sup\limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|$
Тогда при интегрируемости $f$ по $X\times Y$, то есть равенстве $\sup\limits _{\lambda}\,\mathcal{L}\left(f,\lambda\right)=\inf\limits _{\lambda}\,\mathcal{U}\left(f,\lambda\right)$ из вышеуказанных оценок интеграл $\int\limits _{X}dx\int\limits _{Y}f\left(x,y\right)\, dy$ также существует и имеет такое же значение, как и $\iint\limits_{X\times Y} f(x,\;y)\,dx\,dy$

См. также

• Произведение мер
• Малая теорема Фубини
• Кошмар Фубини
• Формула коплощади

Литература

• Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131-138.