ТОНЕЛЛИ ТЕОРЕМА

о конечности площади непрерывной поверхности, заданной явным уравнением: пусть действительно-значная функция f( х, у )задана на прямоугольнике тогда:

а) для того чтобы непрерывная поверхность z=f ( х, у), имела конечную площадь, равную S(F, D₀), необходимо и достаточно, чтобы функция f(x, у )имела конечную Тонелли плоскую вариацию на D₀;

б) если имеет место утверждение а), то

причем площадь

является непрерывной аддитивной функцией прямоугольника и почти для всех точек справедливо равенство

в) для того чтобы имело место равенство S(F, D₀)= L(F, D₀), необходимо и достаточно, чтобы функция F( х, у )была абсолютно непрерывной на D₀,а для этого необходимо и достаточно, чтобы площадь S(F, D )была абсолютно непрерывной функцией прямоугольника

Эта теорема доказана Л. Тонелли (см. [1] - [3], а также [4]), а утверждение а) даже для поверхностей, заданных параметрически, установлено С. Банахом [5] (в несколько иной терминологии).

Лит.:[1] Tonelli L., лС .r. Acad. sci.