Покрытие (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Покрытие (значения).

Покры́тие в математике — это семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество. Обычно понятие покрытия рассматривается в контексте общей топологии.

Определения

• Пусть дано множество $X$. Семейство множеств $C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ называется покрытием $X$, если

$X \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.$

• Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Тогда семейство открытых множеств $C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A} \subset \mathcal{T}$ называется открытым покрытием $Y \subset X$, если

$Y \subset \bigcup\limits_{\alpha \in A} U_{\alpha}.$

Связанные определения

• Если $C$ — покрытие множества $Y$, то любое подмножество $D \subset C$, также являющееся покрытием $Y$, называется подпокры́тием.
• Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие $D = \{V_{\beta}\}_{\beta \in B}$ вписано в покрытие $C = \{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$, если

$\forall \beta \in B\; \exists \alpha \in A$ такое, что $V_{\beta} \subset U_{\alpha}.$

• Покрытие $C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ множества $Y$ называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки $y\in Y$ существует окрестность $U \ni y$, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов $C$, то есть множество $\{\alpha \in A \mid U_{\alpha} \cap U \not= \varnothing \}$ конечно.
• Покрытие $C=\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in A}$ множества $Y$ называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством $U\in C$ открыто в $Y$, само открыто.
• $Y$ называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
• $Y$ называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Свойства

• Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Карта (математика)
• Размерность Лебега