Локальный минимум

Локальный минимум

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Содержание

Определения

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R, и x_0 \in M^0 — внутренняя точка области определения f. Тогда

  • x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \le f(x_0);
  • x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность \dot{U}(x_0) такая, что
    \forall x \in \dot{U}(x_0) \quad f(x) \ge f(x_0).

Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \le f(x_0);
  • x0 называется точкой абсолютного минимума, если
    \forall x\in M\quad f(x) \ge f(x_0).

Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, f(x) = x,\; x\in (-1,1).

Необходимые условия существования локальных экстремумов

  • Лемма Ферма. Пусть функция f\in \mathcal{D}(x_0) дифференцируема в точке локального экстремума x0. Тогда:
f'(x0) = 0.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

  • Пусть функция f\in C(x_0) непрерывна в x_0\in M^0, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные ~f'_+(x_0), f'_-(x_0). Тогда при условии
f'_+(x_0) < 0,\; f'_-(x_0) > 0

x0 является точкой строгого локального максимума. А если

f'_+(x_0) > 0,\; f'_-(x_0) < 0,

то x0 является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0

  • Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии
~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) < 0

x0 является точкой локального максимума. А если

~f'(x_0)=0 и ~f''(x_0) > 0

то x0 является точкой локального минимума.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Локальный минимум" в других словарях:

  • ЛОКАЛЬНЫЙ МИНИМУМ — (local minimum) Значение функции, которое меньше какого либо соседнего значения ее аргумента или набора аргументов, dy/dx = 0 является необходимым условием для достижения локального минимума у=f(x); при соблюдении этого условия достаточным… …   Экономический словарь

  • локальный минимум — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN troughlocal minimum …   Справочник технического переводчика

  • Локальный максимум, локальный минимум — (local maxi­mum, local minimum) см. Экстремум функции …   Экономико-математический словарь

  • МИНИМУМ — (minimum) Наиболее низкое значение функции, которое она принимает при любом значении ее аргументов. Минимум может быть локальным или глобальным. Например, функция у=1+х2 имеет глобальный минимум у=1 при х=0; не существует другого значения х,… …   Экономический словарь

  • АБСОЛЮТНЫЙ МИНИМУМ — (global minimum) Значение функции, равное или более низкое по сравнению с ее значениями, принимаемыми при любых других значениях аргументов. Достаточное условие минимума функции от одного аргумента, состоящее в том, что ее первая производная в… …   Экономический словарь

  • Вариационное исчисление — Вариационное исчисление  это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой заданный функционал достигает… …   Википедия

  • Вариационное исчесление — Вариационное исчисление это раздел математики, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы… …   Википедия

  • Тренд — (англ. trend направление, тенденция) направление, тенденция развития политического процесса, явления. Имеет математическое выражение. Наиболее популярным определением тренда (trend) является определение из теории Доу. Восходящим трендом… …   Политология. Словарь.

  • Теория катастроф — У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф  раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… …   Википедия

  • Теория катастроф (математика) — Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»