- Квазивыпуклая функция
-
Квазивыпуклая функция — обобщение понятия выпуклой функции, нашедшее широкое применение в нелинейной оптимизации, в частности, при применении оптимизации к вопросам экономики.
Содержание
Определение
Пусть X — выпуклое подмножество
. Функция
называется квазивыпуклой или унимодальной, если для произвольных элементов
и
выполняется неравенство:
Если также:
для
и
то функция называется строго квазивыпуклой.
Функция
называется квазивогнутой (строго квазивогнутой), если
является квазивыпуклой (строго квазивыпуклой).
Аналогично, функция является квазивогнутой, если
и строго квазивогнутой если
Функция, которая одновременно является квазивыпуклой и квазивогнутой называется квазилинейной.
Примеры
- Произвольная выпуклая функция является квазивыпуклой, произвольная вогнутая функция является квазивогнутой.
- Функция
является квазилинейной на множестве положительных действительных чисел.
- Функция
является квазивогнутой на множестве
(множество пар неотрицательных чисел) но не является ни выпуклой, ни вогнутой.
- Функция
является квазивыпуклой и не является ни выпуклой, ни непрерывной.
Свойства
- Функция
, где
— выпуклое множество, квазивыпуклая тогда и только тогда, когда для всех
множество
выпукло
- Доказательство. Пусть множество
выпуклое для любого β. Зафиксируем две произвольные точки
и рассмотрим точку
Точки
при
. Поскольку множество
выпуклое, то
, а, значит,
то есть выполняется неравенство, приведённое в определении, и функция является квазивыпуклой.
- Пусть функция f квазивыпуклая. Для некоторого
зафиксируем произвольные точки
Тогда
. Поскольку X — выпуклое множество, то для любого
точка
. Из определения квазивыпуклости следует, что
, то есть
. Отже,
— выпуклое множество.
- Непрерывная функция
, где X — выпуклое множество в
, квазивыпуклая тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
- f — неубывающая;
- f — невозрастающая;
- существует такая точка
, что для всех
функция f невозрастающая, и для всех
функция f неубывающая.
Дифференцируемые квазивыпуклые функции
- Пусть
— дифференцируемая функция на X, где
— открытое выпуклое множество. Тогда f квазивыпукла на X тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:
для всех
.
- Пусть f — дважды дифференцируемая функция. Если f квазивыпуклая на X, то выполняется условие:
для всех
.
- Необходимые и достаточные условия квазивыпуклости и квазивогнутости можно также дать через так называемую окаймлённую матрицу Гессе. Для функции
определим для
определители:
Тогда справедливы утверждения:
-
- Если функция f квазивыпукла на множестве X, тогда Dn(x) ≤ 0 для всех n и всех x из X.
- Если функция f квазивогнута на множестве X, тогда D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, …, (-1)mDm(x) ≤ 0 для всех x с X.
- Если Dn(x) ≤ 0 для всех n и всех x с X, то функция f квазивыпуклая на множестве X.
- Если D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, …, (-1)mDm(x) ≤ 0 для всех x с X, функция f квазивогнута на множестве X.
Операции, сохраняющие квазивыпуклость
- Максимум взвешенных квазивыпуклых функций с неотрицательными весами, то есть
где
- композиция с неубывающей функцией (если
— квазивыпуклая,
— неубывающая, тогда
является квазивыпуклой).
- минимизация (если f(x, y) является квазивыпуклой, C — выпуклое множество, тогда
является квазивыпуклой).
Ссылки
- Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Convex Optimization
Литература
- Alpha C Chiang, «Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third Edition», McGraw Hill Book Company, 1984.
Категории:- Математический анализ
- Типы функций
Wikimedia Foundation. 2010.