ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ

комплексного переменногог- регулярная однолистная функция

в единичном круге , отображающая единичный круг на нек-рую выпуклую область. Регулярная однолистная функция является В. ф. тогда и только тогда, когда при обходе любой окружности касательная к образу в точке вращается в одном и том же направлении. Следующее неравенство выражает необходимое и достаточное условно выпуклости :

С другой стороны, для того чтобы была В. ф., необходимо и достаточно, чтобы она допускала следующее параметрич. представление:

где - неубывающая действительная функция па отрезке такая, что

- комплексные постоянные, Формулу (2) можно рассматривать как обобщение Кристоффеля - Шварца формулы для отображения круга Ена выпуклые многоугольники.

Пусть - класс всех В. ф. в Е, нормированных условиями суть подклассы класса , состоящие из функций, отображающих Есоответственно на выпуклые области плоскости wс р-кратной симметрией вращения относительно точки Классы компактны в себе относительно равномерной сходимости внутри Е. Их интегральные представления, в частности формула (2) для , позволяют развить вариационные методы решения экстремальных задач на классах (см. [2] - [5]).

Основные экстремальные свойства класса характеризуются следующими неулучшаемыми неравенствами:

под аргументом функции понимается ветвь, обращающаяся в нуль при . Во всех этих оценках знак равенства имеет место только для функции' . Для отношения кривизны границы области на классе в точке к кривизне прообраза т. е. окружности , в точке z имеются также неулучшаемые оценки. Областям , принадлежит круг причем радиус этого круга не. может быть увеличен без дополнительных ограничений на класс функций. Если , то однолистная функция звездообразна в круге Е, т. е. отображает Ена область, звездную относительно начала координат.

Примерами обобщения и видоизменения класса и его подклассов являются: класс однолистных в функций регулярных при и отображающих на области с выпуклыми дополнениями; класс регулярных в кольце нормированных определенным образом функций , каждая из к-рых однолистно отображает это кольцо в такую область, что конечная компонента ее дополнения выпукла и ее объединение с этой компонентой также выпукло; класс функций из с действительными коэффициентами разложений Тейлора в окрестности точки . Понятие В. ф. распространяется и на многолистные функции (см. [2], добавление).

Самостоятельный интерес представляет следующее обобщение В. ф. (см. [6]): регулярная в круге Ефункция наз. близкой к выпуклой, если существует в ЕВ. ф. такая, что всюду в Е

Для класса Квсех таких функций f(z) доказана однолистность, найдены необходимые и достаточные условия принадлежности функции f(z) классу Ки параметрич. представление функций при помощи интегралов Стилтьеса:

где - неубывающие действительные функции,

Класс Квключает в себя выпуклые, звездные и другие функции. Для функций справедлива Бибербаха гипотеза: известны неулучшаемые оценки:

под аргументом функции понимается ветвь, обращающаяся в нуль при . Во всех этих оценках знак равенства имеет место только для функции . Геометрически функции класса Кхарактеризуются тем, что они отображают круг Ена области D(f), внешность к-рых может быть заполнена лучами L, проведенными из точек границы области, Понятие функции, близкой к выпуклой, распространено на многолистные функции (см. [7]).

Лит.:[1] Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] 3морович В. А., "Укр. матем. ж.", 1952, т. 4, с. 276-98; [4] Александров И. А., Черников В. В., "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 2, с. 261 - 67; [5] 3морович В. А., "Матем. сб.", 1953, т. 32, № 3, с. 633-52; [6] Кар1an W., (.Michigan Math, J.", 1952, v. 1, № 2, p. 169-85; [7] Styer D., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1972, v. 169, p. 105-12. И. А. Александров, Ю. <Д. <Максимов.