- Критерий Сильвестра
-
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу
Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры
положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки
чередуются, причём
. Здесь главными минорами матрицы
называются определители вида
Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица
не является неотрицательно определённой — так как, например,
для
. В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.
Содержание
Доказательство
Критерий положительной определённости квадратичной формы
Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.
1. «Необходимо.» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. При приведении матрицы к каноническому виду не будет нужно переставлять строки, и знаки главных миноров матрицы не изменятся. А в каноническом виде диагональные элементы положительны, и миноры положительны; следовательно, (так как их знак не менялся при преобразованиях), у положительно определённой квадратичной формы в любом базисе главные миноры матрицы положительны.2. «Достаточно.» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Mi определяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.[1]
Критерий отрицательной определённости квадратичной формы
Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.
Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрицаявляется отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица
является положительно определённой. При замене матрицы
на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.
См. также
Источники
- ↑ Д. В. Беклемишев, Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
Категория:- Линейная алгебра
Wikimedia Foundation. 2010.