Якобиан

Якобиа́н (определитель Яко́би, функциональный определитель) — определитель матрицы Якоби:

$\det \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$

для векторной функции $\mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,$ имеющей в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка (определитель Якоби или якобиан системы функций $u_1, \ldots, u_n$).

Также якобианом иногда (по-русски такое употребление термина не вполне принято) называют саму матрицу Якоби, а не её определитель.^{[источник не указан 1052 дня]} По-английски и в некоторых других языках термин якобиан считается равно приложимым к матрице Якоби и её определителю.^{[источник не указан 1052 дня]}

• Часто используются следующие обозначения якобиана:

$\frac{D(u_1,\dots,u_m)}{D(x_1,\dots,x_n)}$ или $\frac{\partial(u_1,\dots,u_m)}{\partial(x_1,\dots,x_n)}$

• Определитель Якоби обычно определён для случая m = n, то есть для квадратных матриц Якоби; для m ≠ n его можно считать нулём (в простейшей интерпретации матрица Якоби дописывается при этом нулями до квадратной).

Смысл и применение определителя Якоби

Если функции $\tilde x_1(x_1,\dots,x_n), \ldots, \tilde x_n(x_1,\dots,x_n)$ определяют преобразование координат $x_i \rightarrow \tilde x_j$, то смысл определителя Якоби состоит в отношении объёмов ^[1] «элементарных параллелепипедов», натянутых на $d\tilde x_1, d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n$ и на $dx_1, dx_2, \dots, dx_n$ при равенстве произведений $d\tilde x_1 d\tilde x_2, \dots, d\tilde x_n = dx_1 dx_2, \dots, dx_n$.

Основные применения

1. Якобиан часто применяется при анализе неявных функций
2. Равенство определителя Якоби нулю служит удобным необходимым и достаточным условием вырожденности преобразования координат, а неравенство его нулю — необходимым и достаточным условием невырожденности.
3. Интеграл по области при невырожденном преобразовании координат $\tilde x_j \rightarrow x_i$ преобразуется как

$\int\limits_{\tilde \Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n =$

$= \int\limits_{\Omega} f(\tilde x_1(x_1,x_2,\dots,x_n),\tilde x_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,\tilde x_n(x_1,x_2,\dots,x_n)) \bigg|\frac{D(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}\bigg| dx_1 dx_2 \dots dx_n$

(формула замены переменных в n-мерном интеграле).

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Проставив сноски, внести более точные указания на источники.

Примечания

1. ↑ Здесь имеется в виду ориентированный объём. Отношение простых объёмов есть модуль определителя Якоби.

Ссылки

Применение в физике

• Техника Якобиана

• Вывод формулы Майера с применением техники Якобиана