Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд элементов вида:

$\sum_{n=0}^{\infty} T^n,$

где T — это, например, некоторый оператор. В этом случае Tⁿ означает суперпозицию из n одинаковых операторов T. Если же T — элемент кольца, то Tⁿ будет означать n-ную степень элемента T.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

$(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}T^n,$

где I — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор T, действующий в банаховом пространстве X, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида $I-F$, где $\lambda_{max}(F) < 1$ — максимальное собственное значение матрицы F.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида $1 - p$, где p — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

$\sum_{n=0}^{m-1} p^n,$

где m — индекс нильпотента p.

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 июля 2011.