Фильтр (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Фильтр.

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество $F$ решётки $L$ называется фильтром, если

• $F \not= \emptyset$
• для всех $a,b \in F$, $a \land b \in F$
• для всех $a \in F$ и $b$ таких, что $a \leq b$, $b \in F$

Фильтр называется собственным, если $F \neq L$.

Собственный фильтр такой, что не существует собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$ называется простым, если в нём для всех $a,b \in F$ из того, что $a \lor b \in F$, следует, что либо $a \in F$, либо $b \in F$.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$.

Если $F$ фильтр, то $L \backslash F$ является идеалом.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$ можно определить решётку его подмножеств $(\mathcal P(X),\subseteq)$. Тогда фильтр $\mathfrak F$ на $X$ определяется как подмножество $\mathcal P(X)$, удовлетворяющее следующим условиям:

• $\mathfrak F \neq \varnothing$
• $\varnothing \notin\mathfrak F$
• пересечение любых двух элементов $\mathfrak F$ лежит в $\mathfrak F$
• надмножество любого элемента $\mathfrak F$ лежит в $\mathfrak F$

Фильтр вида $\mathfrak F_Z=\{Y \in\mathcal P(X) \mid Z \subseteq Y\}$ называется фильтром, порожденным множеством $Z$. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть $\mathfrak F$ - фильтр на множестве $X$. Семейство подмножеств $\mathfrak B\subset\mathfrak F$ называется базой (базисом) фильтра $\mathfrak F$, если любой элемент фильтра $\mathfrak F$ содержит некоторый элемент базы $\mathfrak B$, т.е. для любого $Y\in\mathfrak F$ существует $B\in\mathfrak B$ такое, что $B\subset Y$. При этом фильтр $\mathfrak F$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из $\mathfrak B$. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база $\mathfrak B$ порождает фильтр $\mathfrak F$

Для того, чтобы семейство $\mathfrak B=\{B\}$ подмножеств множества $X$ являлось базой некоторого фильтра на $X$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы)

• $\mathfrak B\neq\varnothing$
• $\varnothing\not\in\mathfrak B$
• для любых $B_1,B_2\in\mathfrak B$ существует $B_3\in\mathfrak B$ такое, что $B_3\subset B_1\cap B_2$

Две базы $\mathfrak B$ и $\mathfrak B'$ называются эквивалентными, если любой элемент $B\in\mathfrak B$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in\mathfrak B'$, и наоборот, любой элемент $B'\in\mathfrak B'$ содержит в себе некоторый элемент $B\in\mathfrak B$

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе $\mathfrak B$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр $\mathfrak F$. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однознаное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве $X$ заданы два фильтра $\mathfrak F$ и $\mathfrak F'$. Говорят, что фильтр $\mathfrak F'$ мажорирует фильтр $\mathfrak F$ ($\mathfrak F'$ сильнее $\mathfrak F$, $\mathfrak F'$ тоньше $\mathfrak F$), если $\mathfrak F'\supset\mathfrak F$. В этом случае также говорят, что фильтр $\mathfrak F$ мажорируется фильтром $\mathfrak F'$ ($\mathfrak F$ слабее $\mathfrak F'$, $\mathfrak F$ грубее $\mathfrak F'$).

Говорят, что база $\mathfrak B'$ сильнее базы $\mathfrak B$, и записывают $\mathfrak B'\geqslant \mathfrak B$, если любой элемент $B\in\mathfrak B$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in\mathfrak B'$. База $\mathfrak B'$ сильнее базы $\mathfrak B$ тогда и только тогда, когда фильтр $\mathfrak F'$, порожденный базой $\mathfrak B'$, сильнее фильтра $\mathfrak F$, порожденного базой $\mathfrak B$.

Базы $\mathfrak B$ и $\mathfrak B'$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно $\mathfrak B'\geqslant \mathfrak B$ и $\mathfrak B\geqslant \mathfrak B'$.

Фильтры в топологических пространствах

Пусть $(X,\mathcal T)$ -- топологическое пространство и $\mathfrak F$ -- фильтр на множестве $X$. Точка $a\in X$ называется пределом фильтра $\mathfrak F$, если любая окрестность $V(a)$ точки $a$ принадлежит фильтру $\mathfrak F$. Обозначение: $\lim\mathfrak F=a$. Для фильтра $\mathfrak F$, порожденного базой $\mathfrak B$, равенство $\lim\mathfrak F=a$ выполняется тогда и только тогда, когда для любая окрестность $V(a)$ целиком содержит некоторое множество из $\mathfrak B$.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела.

Точка $a\in X$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра $\mathfrak F$, если $a$ принадлежит замыканию любого множества из $\mathfrak F$, т.е. $a\in\overline Y$ для всех $Y\in\mathfrak F$. Равносильно, для любой окрестности $V(a)$ точки $a$ и для любого $Y\in\mathfrak F$ выполнено $V(a)\cap Y\neq\varnothing$. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если $X$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если $X$ — бесконечное множество мощности $\mathfrak m$, то множество дополнений множеств мощности $<\mathfrak m$ тоже является фильтром.

См. также

• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация