Пополнение метрического пространства

Пополнение метрического пространства

Последовательность точек (x_n)_{n=1}^\infty метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ-фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого \varepsilon > 0 существует такое натуральное N_\varepsilon, что

\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ для всех  n, m > N_\varepsilon.

Любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть a — её предел. Тогда, начиная с некоторого N, \rho(x_n,a) < \varepsilon и \rho(x_m,a) < \varepsilon, а стало быть, \rho(x_m , x_n) \leqslant \rho(x_m , a) + \rho(x_n , a) < 2\varepsilon, значит, последовательность по определению фундаментальна.

Обратное, в общем случае, неверно. Во множестве рациональных чисел \mathbb{Q}, рассматриваемом как метрическое пространство с метрикой, определяемой обычной абсолютной величиной ρ(x,y) = | xy | последовательность десятичных дробей, приближающих какое-нибудь иррациональное число, например π с недостатком — 3; 3,1; 3,14; 3,141… является фундаментальной, но во множестве рациональных чисел не имеет предела, так как π иррационально.

Содержание

Полное пространство

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Полнота множества действительных чисел

Как уже было показано, множество рациональных чисел \mathbb{Q} с обычной метрикой неполно. Покажем, что множество действительных чисел \mathbb{R} образует полное пространство, то есть любая фундаментальная последовательность действительных чисел является сходящейся. Пусть некая последовательность (xn) удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две — a1 и a2. Тогда возьмём \varepsilon = \frac{1}{3} |a_1-a_2|. Так как a1 и a2 — предельные точки последовательности, то для любого номера N, в том числе соответствующего в определении фундаментальной последовательности для данного \varepsilon, будут существовать n и m, большие N и такие, что xn и xm будут находиться в ε-окрестностях предельных точек a1 и a2 соответственно, а значит, расстояние между точками a1 и a2 будет |a_1-a_2|\leqslant |a_1-x_n|+|x_n-x_m|+|x_m-a_2|<3\varepsilon=|a_1-a_2|, что противоречит условию. То что любая сходящаяся последовательность фундаментальна было показано выше. Таким образом для последовательностей действительных чисел фундаментальность является необходимым и достаточным условием сходимости (условие Коши).

Другие примеры полных пространств

Пополнение

Всякое метрическое пространство X = (X,ρ) можно вложить в полное пространство Y таким образом, что метрика Y продолжает метрику X, а подпространство X всюду плотно в Y. Такое пространство Y называется пополнением и обычно обозначается (\bar X,\bar \rho). Любые два пополнения изометричны. Один из самых простых способов построения пополнения следующий. Для любого метрического пространства X = (X,ρ), на множестве фундаментальных последовательностей в X можно ввести отношение эквивалентности

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Множество классов эквивалентности \bar X с метрикой, определённой

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

является метрическим пространством. Само пространство (X,ρ) изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in X соответствует класс постоянной последовательность xn = x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho) и будет пополнением X. Если X имеет алгебраическую структуру, например кольца, то она естественным образом переносится на \bar X.

Примеры пополнений

  • Поле действительных чисел \mathbb{R} является пополнением поля рациональных чисел \mathbb{Q} при помощи метрики, определяемой обычной абсолютной величиной.
  • Поле p-адических чисел \mathbb Q_p является пополнением при помощи метрики, определяемой p-адическим нормированием.

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Пополнение метрического пространства" в других словарях:

  • Пополнение — Последовательность точек метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши: Для любого существует такое натуральное , что …   Википедия

  • Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства). В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция… …   Википедия

  • Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

  • Функциональный анализ — I Функциональный анализ         часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание… …   Большая советская энциклопедия

  • Последовательность Коши — Последовательность точек метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши: Для любого существует такое натуральное , что …   Википедия

  • Условие Коши — Последовательность точек метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши: Для любого существует такое натуральное , что …   Википедия

  • КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — концепция метрич. пространства, используемая в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства. Список где некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р… …   Математическая энциклопедия

  • Нормирование — Запрос «Абсолютное значение» перенаправляется сюда; о значении Абсолютная величина см. Абсолютная величина. Нормирование  отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P  x→||x||, обладающее следующими свойствами: 1)  …   Википедия

  • Абсолютное значение — 1) Нормирование от глагола Нормировать в первом значении : НОРМИРОВАТЬ, нормирую, нормируешь, сов. и несов., что. Регулировать что н., установить (устанавливать) законные пределы чему н., ввести (вводить) в норму. Нормировать зарплату.… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»