Пополнение

Пополнение

Последовательность точек (x_n)_{n=1}^\infty метрического пространства с метрикой ρ называется фундаментальной (ρ-фундаментальной) или последовательностью Коши, если она удовлетворяет критерию Коши:

Для любого \varepsilon > 0 существует такое натуральное N_\varepsilon, что

\rho(x_{n}, x_{m}) < \varepsilon\ для всех  n, m > N_\varepsilon.

Любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Пусть a — её предел. Тогда, начиная с некоторого N, \rho(x_n,a) < \varepsilon и \rho(x_m,a) < \varepsilon, а стало быть, \rho(x_m , x_n) \leqslant \rho(x_m , a) + \rho(x_n , a) < 2\varepsilon, значит, последовательность по определению фундаментальна.

Обратное, в общем случае, неверно. Во множестве рациональных чисел \mathbb{Q}, рассматриваемом как метрическое пространство с метрикой, определяемой обычной абсолютной величиной ρ(x,y) = | xy | последовательность десятичных дробей, приближающих какое-нибудь иррациональное число, например π с недостатком — 3; 3,1; 3,14; 3,141… является фундаментальной, но во множестве рациональных чисел не имеет предела, так как π иррационально.

Содержание

Полное пространство

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится.

Полнота множества действительных чисел

Как уже было показано, множество рациональных чисел \mathbb{Q} с обычной метрикой неполно. Покажем, что множество действительных чисел \mathbb{R} образует полное пространство, то есть любая фундаментальная последовательность действительных чисел является сходящейся. Пусть некая последовательность (xn) удовлетворяет критерию Коши. Тогда она, очевидно, ограничена. Следовательно, по теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует предельная точка. Чтобы доказать существование (конечного) предела, необходимо доказать единственность предельной точки. Пусть их существует две — a1 и a2. Тогда возьмём \varepsilon = \frac{1}{3} |a_1-a_2|. Так как a1 и a2 — предельные точки последовательности, то для любого номера N, в том числе соответствующего в определении фундаментальной последовательности для данного \varepsilon, будут существовать n и m, большие N и такие, что xn и xm будут находиться в ε-окрестностях предельных точек a1 и a2 соответственно, а значит, расстояние между точками a1 и a2 будет |a_1-a_2|\leqslant |a_1-x_n|+|x_n-x_m|+|x_m-a_2|<3\varepsilon=|a_1-a_2|, что противоречит условию. То что любая сходящаяся последовательность фундаментальна было показано выше. Таким образом для последовательностей действительных чисел фундаментальность является необходимым и достаточным условием сходимости (условие Коши).

Другие примеры полных пространств

Пополнение

Всякое метрическое пространство X = (X,ρ) можно вложить в полное пространство Y таким образом, что метрика Y продолжает метрику X, а подпространство X всюду плотно в Y. Такое пространство Y называется пополнением и обычно обозначается (\bar X,\bar \rho). Любые два пополнения изометричны. Один из самых простых способов построения пополнения следующий. Для любого метрического пространства X = (X,ρ), на множестве фундаментальных последовательностей в X можно ввести отношение эквивалентности

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Множество классов эквивалентности \bar X с метрикой, определённой

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

является метрическим пространством. Само пространство (X,ρ) изометрически вкладывается в него следующим образом: точке x\in X соответствует класс постоянной последовательность xn = x. Получившееся пространство (\bar X,\bar \rho) и будет пополнением X. Если X имеет алгебраическую структуру, например кольца, то она естественным образом переносится на \bar X.

Примеры пополнений

  • Поле действительных чисел \mathbb{R} является пополнением поля рациональных чисел \mathbb{Q} при помощи метрики, определяемой обычной абсолютной величиной.
  • Поле p-адических чисел \mathbb Q_p является пополнением при помощи метрики, определяемой p-адическим нормированием.

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004. — 7-е изд.
  • Шилов Г. Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.3, — М.:Наука, 1970.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?
Синонимы:

Полезное


Смотреть что такое "Пополнение" в других словарях:

  • ПОПОЛНЕНИЕ — ПОПОЛНЕНИЕ, пополнения, ср. 1. только ед. Действие по гл. пополнить пополнять и состояние по гл. пополниться пополняться. Пополнение запасов. Пополнение библиотеки новыми книгами. Пополение флота новыми единицами. Маршевая рота прибыла на… …   Толковый словарь Ушакова

  • пополнение — дополнение, подкрепление, расширение; ремонт, укомплектование, кооптирование, комплектование, комплектовка, обновление, кооптация Словарь русских синонимов. пополнение сущ., кол во синонимов: 10 • догружение (3) …   Словарь синонимов

  • ПОПОЛНЕНИЕ — ПОПОЛНЕНИЕ, я, ср. 1. см. пополнить, ся. 2. То, чем пополняется состав кого чего н. Свежее п. Прибыло новое п. Богатые пополнения коллекции. В зоопарке новое п. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • пополнение — 1. ПОПОЛНЕНИЕ, я; ср. 1. к Пополнить пополнять и Пополниться пополняться. П. библиотеки. Запасы пищи требуют пополнения. П. общественных фондов. П. в семье (обычно при рождении ребёнка). 2. То, чем пополняется состав чего л. (чаще о войсках, о… …   Энциклопедический словарь

  • пополнение — (напр. запасов) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN replenishment …   Справочник технического переводчика

  • пополнение — prieauglis statusas T sritis ekologija ir aplinkotyra apibrėžtis Derliaus priedas, gaunamas sudarius augalui palankesnes augimo ir vystymosi sąlygas. atitikmenys: angl. increment vok. Nachwuchs, m rus. молодняк, m; молодь, f; пополнение, n …   Ekologijos terminų aiškinamasis žodynas

  • пополнение — prieauglis statusas T sritis ekologija ir aplinkotyra apibrėžtis Jauni gyvuliai iki užaugimo, paskerdimo mėsai, patelės – iki jauniklių atsivedimo, patinai – iki panaudojimo kergimui. atitikmenys: angl. increment vok. Nachwuchs, m rus. молодняк,… …   Ekologijos terminų aiškinamasis žodynas

  • ПОПОЛНЕНИЕ СЕЧЕНИЯМИ — пополнение Мак Нейла, частично упорядоченного множества М полная решетка L, получаемая из множества Мследующим образом. Пусть (если Мобладало нулем) или получается внешним присоединением наименьшего элемента 0 к М(если Мне имело нуля). И пусть Р( …   Математическая энциклопедия

  • Пополнение фонда документов — процесс ввода документов в фонд после проверки на соответствие заказу, проверки на дефектность, учета и обработки. См. также: Комплектование фондов документов Финансовый словарь Финам …   Финансовый словарь

  • Пополнение медицинского имущества — восполнение некомплекта медицинского имущества до количеств, предусмотренных нормами (табелями) снабжения. EdwART. Словарь терминов МЧС, 2010 …   Словарь черезвычайных ситуаций


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»