СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

(сферические гармоники) - спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Du = 0 в сферич. координатах (r, q, j) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая и = и(r,q, j) = R(r)Y(q,j), после разделения переменных для Y(q, j) получаем ур-ние

5006-14.jpg

частные решения к-рого - С. ф.- имеют вид звёздочка означает комплексное сопряжение. Ф-ция Q)(x = cosq) может быть выражена через полиномы Якоби Pl(a,b)(x), присоединённые ф-ции Лежандра Р ml )и полиномы Лежандра Pl(X )(см. Ортогональные полиномы):

5006-15.jpg

5006-16.jpg


5006-17.jpg

[в нек-рых работах по квантовой механике в коэф. С вводят дополнит. множитель (-1)mil]. Общий вид решения ур-ния (*)

5006-18.jpg

( С m - постоянные).

С. ф. образуют полную ортонормированную систему на сфере единичного радиуса (d - дельта-функция,dnn' - Кронекера символ). Эта система играет ту же роль в разложении ф-ций на сфере, что и тригонометрич. ф-ции на окружности. Для ф-ций Ylm(q, j) построены конечно-разностные ортогональные аналоги на дискретном множестве точек сферы.

5006-19.jpg


5006-20.jpg


Рекуррентное соотношение и ф-лы дифференцирования для С. ф. имеют вид

5006-21.jpg

[при т=b(l+1) следует полагать Ylm(q, j) = 0].

Теорема сложения для С. ф. выражает полином Лежандра Pl(cosw) [w - угол между векторами r1 и r2, направления к-рых характеризуются углами q1, j1 и q2, j2:

5006-22.jpg

через произведения С. ф.:

5006-23.jpg

С помощью этой теоремы можно записать разложение потенциала (в точке r1) единичного заряда (расположенного в точке r2 )в виде

5006-24.jpg

При вращении системы координат, определяемом углами Эйлера a, b, g, С. ф. преобразуются след, образом:

5006-25.jpg

(q', j'-углы q, j в новой системе координат). Коэф. Dlmm'(a, b, g) наз. обобщёнными С. ф., или Вигнера функциями. Они связаны со С. ф. соотношениями

5006-26.jpg

Лит.: Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984: Справочник по специальным функциям, пер. с англ., М., 1979. А. Ф. Никифоров.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Смотреть что такое "СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" в других словарях:

  • Сферические функции — представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Википедия

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (шаровые) специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями …   Большой Энциклопедический словарь

  • сферические функции — (шаровые), специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями. * * * СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (шаровые), специальные функции, применяемые для… …   Энциклопедический словарь

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — шаровые функции, присоединенные функции Лежандра 1 го и 2 го рода, два линейно независимых решения и дифференциального уравнения где комплексные постоянные, к рое возникает при решении нек рых классов дифференциальных уравнений с частными… …   Математическая энциклопедия

  • Сферические функции —         специальные функции, применяемые для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями, и для решения физических задач, обладающих сферической симметрией. С. ф. являются решениями… …   Большая советская энциклопедия

  • Сферические функции — (Kugelfunctionen). Выражение: в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням а: 1 + аР1 + а2Р2 + а3P3 +... + anPn +..., в котором Ρ с разными… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — (шаровые), спец. функции, применяемые для изучения физ. явлений в пространственных областях, ограниченных сферич. поверхностями …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — ф ции. применяемые при изучении физ. явлений в пространств, областях, ограниченных сферич. поверхностями …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЗОНАЛЬНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — см. Сферические функции …   Математическая энциклопедия

  • Функции Бесселя — в математике  семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя: где   произвольное вещественное число, называемое порядком. Наиболее часто используемые функции Бесселя  функции целых… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»