Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁.

Доказать: ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Доказательство

1) Cумма углов треугольника:

∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁ => ∠C=∠C₁.

2) Соотношение площадей треугольников с равным углом:

$\frac{S}{S_1}$ = $\frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1}$ = $\frac{AB \cdot BC}{A_1B_1 \cdot B_1C_1}$ => $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$.

3) Аналогично:

$\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ => ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Теорема доказана.

Второй признак

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, ∠A=∠A₁, $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$.

Доказать: ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Доказательство

1) Рассмотрим ∆ABC₂, в котором ∠BAC₂=∠A₁ и ∠ABC₂=∠B₁:

∆ABC₂ $\sim$ ∆A₁B₁C₁ (первый признак) => $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC_2}{A_1C_1}$.

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ => AC=AC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (первый признак) =>
∠B=∠ABC₂=∠B₁ => ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁ (первый признак).

Теорема доказана.

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$.

Доказать: ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Доказательство

1) Рассмотрим ∆ABC₂, в котором ∠BAC₂=∠A₁ и ∠ABC₂=∠B₁:

∆ABC₂ $\sim$ ∆A₁B₁C₁ (первый признак) => $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{BC_2}{B_1C_1}$ = $\frac{AC_2}{A_1C_1}$.

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$ => AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ $\sim$ ∆A₁B₁C₁ => ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Теорема доказана.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум катетам — см. второй признак;
3. По катету и гипотенузе — см. второй признак.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Подобие в прямоугольном трегольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Литература

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.

См. также

• Подобие
• Среднее геометрическое
• Треугольник

Ссылки

• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс
• Признаки подобия через преобразования