Подобие треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Признаки подобия треугольников

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

То есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.$

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.$

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Доказательство

1)По условию $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1 \Rightarrow \angle C = \angle C_1$ по теореме о сумме углов треугольника.

Согласно условию, $\angle A = \angle A_1 \Rightarrow \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_1 B_1 C_1}}=\frac{AB \cdot AC}{A_1 B_1 \cdot A_1 C_1}$ по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу; но по той же причине, так как $\angle B=\angle B_1,\ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A_1 B_1 C_1}}=\frac{AB \cdot BC}{A_1 B_1 \cdot B_1 C_1}$; следовательно, $\frac{AC}{A_1 C_1}=\frac{BC}{B_1 C_1}$. Аналогично используя равенства $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, получаем, что $\frac{AB}{A_1 B_1}=\frac{BC}{B_1 C_1}$.

Итак, в рассматриваемых треугольниках все их углы соответственно равны, и сходственные стороны пропорциональны, то есть эти треугольники являются подобными по определению, ч.т.д.

Второй признак

Если угол одного треугольника равен углу другого, а стороны, образующие тот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$ Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.$

Доказательство

1) Рассмотрим $\triangle ABC_2$, в котором $\angle BAC_2=\angle A_1$ и $\angle ABC_2=\angle B_1:$

$\triangle ABC_2\sim \triangle A_1 B_1 C_1$ (первый признак) $\Rightarrow\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC_2}{A_1C_1}.$

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}\Rightarrow AC=AC_2 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle ABC_2$ (первый признак) $\Rightarrow \angle B=\angle ABC_2 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1$ (первый признак).

Третий признак

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Дано: ∆ABC и ∆A₁B₁C₁, $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$.

Доказать: ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Доказательство

1) Рассмотрим ∆ABC₂, в котором ∠BAC₂=∠A₁ и ∠ABC₂=∠B₁:

∆ABC₂ $\sim$ ∆A₁B₁C₁ (первый признак) => $\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{BC_2}{B_1C_1}$ = $\frac{AC_2}{A_1C_1}$.

2) По условию:

$\frac{AB}{A_1B_1}$ = $\frac{AC}{A_1C_1}$ = $\frac{BC}{B_1C_1}$ => AC=AC₂, BC=BC₂ => ∆ABC = ∆ABC₂ (третий признак);
∆ABC₂ $\sim$ ∆A₁B₁C₁ => ∆ABC $\sim$ ∆A₁B₁C₁.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум катетам — см. второй признак;
3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение объёма подобных стереометрических фигур равно кубу коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 декабря 2012.

Литература

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.

См. также

• Подобие
• Среднее геометрическое
• Треугольник

Ссылки

• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс