Высота треугольника

У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения).

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника

Свойства

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. — Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

$\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0$

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA},\,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB},\,\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{EC}$

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
• В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
• Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

• Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

• Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

• При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

• $h_a=b \sin \gamma=c \sin \beta,$
• $h_a=\frac{2S}{a},$

где $S$ — площадь треугольника, $a$ — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.

• $h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=bc:ac:ab.$
• Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2},$

где $c$ — основание.

• $h=\frac{a\sqrt 3}{2}$ — высота в равностороннем треугольнике.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

• $h^2=nm$
• $a^2=cn$; $b^2=cm$
• $hc=ab$

Мнемоническое стихотворение

Высота

похожа на кота,

Который, выгнув спину,

И под прямым углом

Соединит вершину

И сторону хвостом.

См. также

• Чевиана

Ссылки

• Справочник: Треугольники