Теорема о сумме углов треугольника

Треугольник

Теорема о сумме углов треугольника — классическая теорема евклидовой геометрии. Утверждает, что

Сумма углов треугольника на евклидовой плоскости равна 180°.

Доказательство

Пусть ABC' — произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида). Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.

Следствия

Из теоремы следует, что у любого треугольника два угла острые. Действительно, применяя доказательство от противного, допустим, что у треугольника только один острый угол или вообще нет острых углов. Тогда у этого треугольника есть, по крайней мере, два угла, каждый из которых не меньше 90°. Сумма этих углов не меньше 180°. А это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Что и требовалось доказать.

Обобщение в симплекс теории

$\begin{vmatrix} -1 & \cos L_{12} & \cos L_{13} & \dots & cos L_{1(n+1)} \\ cos L_{21} & -1 & cos L_{23} & \dots & cos L_{2(n+1)} \\ cos L_{31} & cos L_{32} & -1 & \dots & cos L_{3(n+1)} \\ \vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\ cos L_{(n+1)1} & cos L_{(n+1)2} & cos L_{(n+1)3} & \dots & -1 \\ \end{vmatrix} = 0$,где $L_{ij}$ -угол между i и j гранями симплекса.

Примечания

• На сфере сумма углов треугольника всегда превышает 180°, разница называется сферическим избытком и пропорциональна площади треугольника.
• В плоскости Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°. Разность также пропорциональна площади треугольника.

См. также

• Треугольник
• Теорема о сумме углов многоугольника