Колмогоровская аксиоматика

Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым^[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов.

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман^[3] (1908), С. Н. Бернштейн^[4] (1917), Р. Мизес^[5] (1919 и 1928), а также А. Ломницкий^[6] (1923) на базе идей Э. Бореля^[7] о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть Ω — множество элементов ω, которые называются элементарными событиями, а $\mathcal{F}$ — множество подмножеств Ω, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а Ω — пространством элементарных событии.

• Аксиома I (алгебра событий). $\mathcal{F}$ является алгеброй событий.
• Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из $\mathcal{F}$ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число $\mathbf{P}(x)$, которое называется вероятностью события x.
• Аксиома III (нормировка вероятности). $\mathbf{P}(\Omega)=1$.
• Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

$\mathbf{P}(x+y)= \mathbf{P}(x)+ \mathbf{P}(y)$.

Совокупность объектов $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: Ω состоит из единственного элемента ω, $\mathcal{F}$ — из Ω и множества невозможных событий (пустого множества) $\varnothing$, при этом положено $\mathbf{P}(\Omega)=1, \mathbf{P}(\varnothing)=0$. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Обычно можно предполагать, что система $\mathcal{F}$ рассматриваемых событий $x, y, z,\ldots,$ которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество Ω (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m / n будет мало отличаться от $\mathbf{P}(x)$. Далее ясно, что $0 \leq m/n \leq 1$, так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события Ω всегда m = n, благодаря чему естественно положить $\mathbf{P}(\Omega)=1$ (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества Ω), то m = m₁ + m₂, где m,m₁,m₂ обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y,x,y. Отсюда следует:

$\frac{m}{n}=\frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}.$

Следовательно, является уместным положить

$\mathbf{P}(x+y)=\mathbf{P}(x)+\mathbf{P}(y)$ (аксиома IV).

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

• Аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности

$x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots$

событий из $\mathcal{F}$ такой, что

$\bigcap_{n} x_n = \varnothing,$

имеет место равенство

$\lim_{n} \mathbf{P}(x_n) = 0.$

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий $\mathcal{F}$ конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра $\mathcal{F}$ событий пространства элементарных событий Ω называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы

∑	xn
n

событий x_n из $\mathcal{F}$ принадлежат $\mathcal{F}$. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле $(\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P})$. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра $\mathcal{F}=\sigma(\mathcal{F}_0)$, содержащая $\mathcal{F}_0$. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на $(\Omega, \mathcal{F}_0)$ неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств $\mathbf{P} = \mathbf{P}(\cdot)$ всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из $\mathcal{F}$ и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле $(\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P})$ может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})$, которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры $\mathcal{F}$ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из $\mathcal{F}$, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»

Существует необщепринятое мнение по поводу аксиоматики Колмогорова:

• Вероятность — это понятие из реального мира, и поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Точно так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», но это не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели.
• Утверждают, что аксиоматика Колмогорова не вводит ни одного нового базового (неопределяемого, как точка или прямая) понятия. А значит, она является определением: «Вероятность — это такая мера, что $\operatorname P (\Omega)=1$».

При этом аксиоматику Колмогорова они называют «моделью Колмогорова». Изредка приводятся альтернативные модели теории вероятностей.

Литература

1. ↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
2. ↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.
3. ↑ Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
4. ↑ Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.
5. ↑ Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99.
6. ↑ Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71.
7. ↑ Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Алгебра событий
• Теорема Кокса (англ.) — другое математическое обоснование теории вероятностей