- Случайный процесс
-
Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Другое определение:
Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.Содержание
Определение
Пусть дано вероятностное пространство . Параметризованное семейство случайных величин
- ,
где произвольное множество, называется случайной функцией.
Терминология
- Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция называется случайным процессом. Если множество дискретно, например , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
- Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.
Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".
Классификация
- Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1, t2,…, число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
- Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
- Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
- Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
- Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом [1].
- Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
- Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
- Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора , где , а , случайные величины , , , независимы.
- Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
- Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
Траектория случайного процесса
Пусть дан случайный процесс . Тогда для каждого фиксированного — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход , то — детерминистическая функция параметра . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции .
Примеры
- , где называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
- Пусть , и — случайная величина. Тогда
является случайным процессом.
Примечания
- ↑ Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.
См. также
Источники
- А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
- С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
Категория:- Случайные процессы
Wikimedia Foundation. 2010.