Теория Ходжа

Теория Ходжа

Теория Ходжа — раздел алгебраической топологии. Более конкретно, эта теория имеет дело с последовательностями групп когомологий M, с вещественными коэффициентами, теории уравнений с обобщёнными операторами Лапласа асоциированных с римановой метрикой на M.

Эта теория была разработана Вильямом Ходжем в 1930-ых годах как расширение когомологий де Рама, и имеет основные применения на трёх уровнях:

В ранних работах, M бралось замкнутым (то есть компактным и без границы). На всех трёх уровнях теория была под большим влиянием последующих работ, Кунихико КодайрыЯпонии и позже, частично под влиянием Германа Вейля, в Принстоне) потом и многих других.

Содержание

Приложения и примеры

Когомология де Рама

Оригинальная формулировка теории Ходжа была для комплексов де Рама. Если M — компактное ориентированное многобразие, снабжённое гладкой метрикой g, и Ωk(M) — пучок гладких дифференциальных форм степени k на M, то комплекс де Рама это последовательность дифференциальных операторов

 0\rightarrow \mathbb R\xrightarrow{d_{-1}} \Omega^0(M) \xrightarrow{d_0} \Omega^1(M)\xrightarrow{d_1} \cdots\xrightarrow{d_{n-1}} \Omega^n(M)\xrightarrow{d_n} 0

где dk обозначает внешнюю производную на Ωk(M). Тогда когомология де Рама это просто последовательность векторных пространств, определённых так

H^k(M)=\frac{\ker d_k}{\mathrm{im}\,d_{k-1}}.

Можно определить Гильбертово пространство сопряжённое внешней производной d, обозначенной \delta с помошью теоремы Рисса так. для всех α ∈ Ωk(M) и β ∈ Ωk+1(M), мы потребуем чтобы

\int_M \langle d\alpha,\beta\rangle_{k+1} \,dV = \int_M\langle\alpha,\delta\beta\rangle_k \,dV

где \langle \ ,\ \rangle_k метрика индуцированная на \Omega^k(M). Лапласиан определим тогда так \Delta=d\delta+\delta d. Это позволит нам определить пространства гармонических форм

\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}.

Можно легко показать, что d\mathcal H_\Delta^k(M)=0, поэтому есть каноническое отображение \varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M). Первая часть оригинальных теорем Ходжа утверждает, что \varphi — это изоморфизм векторных пространств. Другими словами, для каждого класса когомологий де Рама на M, есть уникальное гармоническое представление.

Одно из главных следствий этого есть то, что группа когомологий де Рама на компактном многобразии, конечномерна. Это следует из того, что операторы \Delta эллиптические, и ядро эллиптического оператора на компактном многообразии всегда представлят из себя конечномерное векторное пространство.

Структуры Ходжа

Абстрактное определение (вещественных) структур Ходжа такое: для вещественного векторного пространства W структура Ходжа на W — это разложение его комплексификации W^{\mathbb C} = W \otimes \mathbb C в -градуированную прямую сумму

W^{\C} = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \bigoplus_{p=0}^{k} W^{p,k-p}

причём комплексное сопряжение на W^{\C} переставляет градуированные слагаемые W^{p,q} и W^{q,p}:

\overline{W^{p,q}} = W^{q,p}

Основное утверждение состоит в том, что группы сингулярных когомологий с вещественными коэффициентами H^k(V,\R) неособого комплексного проективного многообразия V имеют такую структуру Ходжа:

H^k = \oplus_{p=0}^k H^{p,k-p}

где H^{p,q} — группы когомологий Дольбо многообразия V. Отсюда следует связь между числами Бетти b_k = \dim H^k и h_{p,q} = \dim H^{p,q}:

b_k = \sum_{p=0}^k h_{p,k-p}

Изначально разложение Ходжа возникло из теории гармонических форм (собственных векторов лапласиана в пространстве дифференциальных форм), обобщающих локально постоянные гармонические функции. Доказывается, что каждый класс сингулярных когомологий представим единственной гармонической формой, и что такая форма обязательно имеет корректно определённую биградуировку (p,q) (относительно действия оператора комплексной структуры). Отсюда следует разложение Ходжа. В дальнейшем разложение Ходжа было получено чисто алгебраически, с помощью теории спектральных последовательностей и групп когомологий пучков  H^{q} (V,\Omega^{p}) , в работах Дольбо.

В случае сингулярных или некомпактных многообразий необходимо заменить структуру Ходжа на смешанную структуру Ходжа, отличающейся в том, что разложение сингулярных когомологий в прямую сумму заменяется на некоторую пару фильтраций. Этот случай используется, например, в теории монодромии.

Литература

  • Ф. Гриффитс, Дж. Харрис Принципы алгебраической геометрии = Principles of Algebraic Geometry. — ИО НФМИ, 2000. — Т. 1. — 496 с. — ISBN 5-80323-126-6
  • К. Вуазен Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия = Hodge theory and complex algebraic geometry I. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 1. — 344 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-514-6

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Теория Ходжа" в других словарях:

  • Теория Янга — Миллса — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Свиннертона Дайера Теория Ян …   Википедия

  • Теория трёх миров — (кит. трад. 三個世界的理論, упр. 三个世界的理论, пиньинь: Sān gè Shìjiè де Lǐlùn)  теория, разработанная китайским коммунистическим лидером Мао Цзэдуном, утверждающая, что международные отношения состоят из трех политико экономических миров: Первого… …   Википедия

  • Теория Янга — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Теория Янга … …   Википедия

  • МОДУЛЕЙ ТЕОРИЯ — теория, изучающая непрерывные семейства объектов алгебраич. геометрии. Пусть А класс объектов алгебраич. геометрии (многообразий, схем, векторных расслоений и т. п.), на к ром задано нек рое отношение эквивалентности R. Основная задача… …   Математическая энциклопедия

  • Гипотеза Ходжа — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Гипотеза Ходжа… …   Википедия

  • Квантовая теория Янга — Миллса — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Берча и Свиннертона Дайера Теория Янга Миллса… …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ — раздел дифференциальной геометрии, изучающий различные инфинитезималъные структуры на многообразии и их связи со структурой многообразия и его топологией. К середине 19 в. в результате возникновения неевклидовой геометрии Лобачевского,… …   Математическая энциклопедия

  • Ходж, Вильям Воланс Дуглас — Вильям Воланс Дуглас Ходж (англ. William Vallance Douglas Hodge; 17 июня 1903, Эдинбург, Великобритания 7 июля 1975, Кембридж, Великобритания) английский математик. Обучался в Эдинбургского университета, где стал учеником Э.Уиттекера.… …   Википедия

  • Де Рам, Жорж — Жорж де Рам. Жорж де Рам (фр. Georges de Rham, 10 сентября 1903 года  9 октября 1990 года)  швейцарский математик, известный своим вкладом в геометрическую теорию дифференцируемых многообразий …   Википедия

  • Проблемы тысячелетия — Задачи тысячелетия (Millennium Prize Problems) составляют семь математических проблем, охарактеризованных как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение каждой из этих проблем институтом Клэя …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»