ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

       

явление, наблюдаемое во мн. течениях жидкостей и газов и заключающееся в том, что в этих течениях образуются многочисленные вихри разл, размеров, вследствие чего их гидродинамич. и термодинамич. хар-ки (скорость, темп-ра, давление, плотность) испытывают хаотич. флуктуации и потому изменяются от точки к точке и во времени нерегулярно. Этим турбулентные течения отличаются от т. н. ламинарных течений. Большинство течений жидкостей и газов турбулентно как в природе (движение воздуха в земной атмосфере, воды в реках и морях, газа в атмосферах Солнца и звёзд и в межзвёздных туманностях и т. п.), так и в техн. устройствах (в трубах, каналах, струях, в пограничных слоях около тв. тел, в следах за такими телами и т. п.).

Благодаря большой интенсивности турбулентного перемешивания турбулентные течения обладают повышенной способностью к передаче кол-ва движения (и потому к повышенному силовому воздействию на обтекаемые тв. тела), передаче теплоты, ускоренному распространению хим. реакций (в частности, горения), способностью нести взвешенные ч-цы, рассеивать звуковые и эл.-магн. волны и создавать флуктуации их амплитуд и фаз, а в электропроводящей жидкости -генерировать флуктуирующее магн. поле и т. д.

Т. возникает вследствие гидродинамич. неустойчивости ламинарного течения, к-рое теряет устойчивость и превращается в турбулентное, когда т. н. Рейнольдса число Re=lv/v превзойдёт нек-рое критич. значение Reкр (l и v — характерные длина и скорость в рассматриваемом течении, v — коэфф. кинематич. вязкости). По эксперим. данным, в прямых круглых трубах при наибольшей возможной степени возмущённости течения у входа в трубу Reкр»2300 (здесь l — диаметр трубы, v —средняя по сечению скорость). Уменьшая степень начальной возмущённости течения, можно добиться сохранения ламинарного режима до значительно больших Reкр, напр. в трубах до Reкр»50 000. Аналогичные результаты получены для возникновения Т. в пограничном слое.

Возникновение Т. при обтекании тв. тел может проявляться не только в виде турбулизации пограничного слоя, но и в виде образования турбулентного следа за телом в результате отрыва пограничного слоя от его поверхности. Турбулизация пограничного слоя до точки отрыва приводит к резкому уменьшению полного коэфф. сопротивления тела. Т. может возникнуть и вдали от тв. стенок при потере устойчивости поверхности разрыва скорости (напр., образующейся при отрыве пограничного слоя или являющейся границей затопленной струи или поверхностью разрыва плотности) или при потере устойчивости распределения плотности жидкости в поле тяжести, т. е. при возникновении конвекции. Англ. учёный Дж. У. Рэлей установил, что критерий возникновения конвекции в слое жидкости толщиной h между двумя плоскостями с разностью темп-р dT имеет вид: Ra=gbh3dT/vc, где g — ускорение свободного падения, b — коэфф. теплового расширения жидкости, c — коэфф. её температуропроводности. Критич. число Рэлея Raкр имеет значение »1100—1700.

Вследствие чрезвычайной нерегулярности гидродинамич. полей турбулентных течений применяется статистич. описание Т.: гидродинамич. поля трактуются как случайные ф-ции от точек пр-ва и времени, и изучаются распределения вероятностей для значений этих ф-ций на конечных наборах точек. Наибольший практич. интерес представляют простейшие хар-ки этих распределений: ср. значения и вторые моменты гидродинамич. полей, в т. ч. дисперсии компонент скорости v'j2 (где v'j=vj-v=j — пульсации скорости, а чёрточка наверху — символ осреднения); компоненты турбулентного потока кол-ва движения tjl=-rv'jv'l (т. н. напряжения Рейнольдса) и турбулентного потока теплоты qj=crv'jT' (r — плотность, с — уд. теплоёмкость, Т' — пульсация темп-р). Статистич. моменты гидродинамич. полей турбулентного потока должны удовлетворять нек-рым ур-ниям (вытекающим из ур-ния гидродинамики), простейшие из к-рых — т. н. ур-ния Рейнольдса, получаются непосредственным осреднением ур-ний гидродинамики. Однако точного решения их до сих пор не найдено, поэтому используются разл. приближённые методы.

Осн. вклад в передачу через турбулентную среду кол-ва движения и теплоты вносят крупномасштабные компоненты Т. (масштабы к-рых сравнимы с масштабами течения в целом); поэтому их описание — основа расчётов сопротивления и теплообмена при обтекании тв. тел жидкостью или газом. Для этой цели построен ряд т. н. полуэмпирич. теорий Т., в к-рых используется аналогия между турбулентным и мол. переносом, вводятся понятия пути перемешивания, интенсивности Т., коэфф. турбулентной вязкости и теплопроводности и принимаются гипотезы о наличии линейных соотношений между напряжениями Рейнольдса и ср. скоростями деформации, турбулентным потоком теплоты и ср. градиентом темп-ры. Такова, напр., применяемая для плоскопараллельного осреднённого движения ф-ла Буссинеска t=Adv/dy с коэфф. турбулентного перемешивания (турбулентной вязкости) А , к-рый, в отличие от коэфф. мол. вязкости, уже не является физ. постоянной жидкости, а зависит от хар-ра осреднённого движения (у — расстояние от стенки). На основании полуэмпирич. теории Прандтля можно принять

A=rl2?dv=/dy?,

где путь перемешивания l — турбулентный аналог длины свободного пробега молекул.

Большую роль в полуэмпирич. теориях играют гипотезы подобия (см. ПОДОБИЯ ТЕОРИЯ). В частности, они служат основой полуэмпирич. теории Кармана, согласно к-рой в плоскопараллельном потоке путь перемешивания l==cv'/v", где v=v(y) — скорость течения, а к — постоянная. А. Н. Колмогоров предложил использовать в полуэмпирич. теориях гипотезу подобия, по к-рой хар-ки Т. выражаются через её интенсивность 6 и масштаб l (напр., скорость диссипации энергии e= b3/l). Одно из важнейших достижений полуэмпирич. теории Т.— установление универсального по числу Рейнольдса (при больших Re) логарифмич. закона для профиля скорости в трубах, каналах и пограничном слое на не слишком малых расстояниях у от стенки:

v(y)/v*=A log(y/y0)+B,

здесь v=?(tw/r) (tw— напряжение трения на стенке), А и В — постоянные, a y0=v/v* в случае гладкой стенки и пропорционально геом. высоте бугорков шероховатости в случае шероховатой.

Мелкомасштабные компоненты Т. (масштабы к-рых малы по сравнению с масштабами течения в целом) вносят существенный вклад в ускорения жидких ч-ц и в определяемую ими способность турбулентного потока нести взвешенные ч-цы, в относит. рассеяние ч-ц и дробление капель в потоке, перемешивание турбулентных жидкостей, генерацию магн. поля в электропроводящей жидкости, спектр неоднородностей электронной плотности в ионосфере, флуктуации параметров эл.-магн. волн, болтанку летат. аппаратов и т. д.

Описание мелкомасштабных компонент Т. базируется на гипотезах Колмогорова, основанных на представлении о каскадном процессе передачи энергии от крупномасштабных ко всё более и более мелкомасштабным компонентам Т. Вследствие хаотичности и многокаскадности этого процесса при очень больших Re распределение мелкомасштабных компонент оказывается пространственно-однородным, изотропным и квазистационарным и определяется наличием ср. притока энергии e= от крупномасштабных компонент и равной ему ср. диссипации энергии в области миним. масштабов. По первой гипотезе Колмогорова, статистич. хар-ки мелкомасштабных компонент определяются только двумя параметрами e= и v; в частности, миним. масштаб турбулентных неоднородностей l=(v3/e=)1/4 (в атмосфере l= 10-1 см). По второй гипотезе, при очень больших Re в мелкомасштабной области существует такой (т. н. инерционный) интервал масштабов, больших по сравнению с Я, в к-ром параметр v оказывается несущественным, так что в этом интервале хар-ки Т. определяются только одним параметром г.

Теория подобия мелкомасштабных компонент Т. была использована для описания локальной структуры полей темп-ры, давления, ускорения, пассивных примесей. Выводы теории нашли подтверждение при измерениях хар-к разл. турбулентных течений.

Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1983.

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

(от лат. turbulentus - беспорядочный)- сложное, неупорядоченное во времени и пространстве поведение диссипативной среды (или поля), детали к-рого не могут быть воспроизведены на больших интервалах времени при сколь угодно точном задании начальных и граничных условий. Такая невоспроизводимость есть следствие собственной сложной динамики среды, определяемой неустойчивостью индивидуальных движений, и не связана с неполнотой описания, флуктуациями или действием внеш. шумов. В режиме стационарной установившейся Т. (говоря о Т., обычно понимают именно такой режим) диссипация энергии компенсируется её поступлением из внеш. источников.

Понятие Т. возникло в 19 в. в связи с изучением течений жидкостей и газов. Впоследствии было осознано, что переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому, определяемый нелинейными процессами, характерен и для др. сред и полей (акустич. полей в твёрдых телах и газах, эл.-магн. полей в плазме и т. п.). Ныне это понятие вошло практически во все области физики и используется по отношению как к вихревым, так и безвихревым (в т. ч. волновым) полям.

Различают слабую, сильную, развитую и нек-рые др. типы Т. Трактовка этих терминов в разл. областях физики несколько различна.

Слабая Т. 1) Т. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым - справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)- волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. В простейшем случае - это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца система). В более общем случае - низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример - динамика дефектов в жидких кристаллах).

С и л ь н а я Т. 1) Т. сильнонелинейных волн, в случае, когда не работает приближение случайных фаз и слабой связи гармонических волн. Напр., Т. ударных волн в средах со слабой дисперсией (сильная акустич. Т.) либо Т. солито нов (в частности, в плазме). 2) Гидродинамич. Т., к-рой соответствует многоразмерный пространственно-временной хаос. Движения среды не упорядочены во времени и в пространстве, характерно наличие потока энергии от одних пространств. масштабов (масштаб поступления) к другим (масштаб диссипации). Размерность фазового пространства соответствующей динамич. системы (или число независимых возбуждённых мод) прибл.

Р а з в и т а я Т. 1) Обычно синоним сильной Т. 2) Иногда развитой наз. установившуюся Т., в отличие от неустановившейся (переходной) Т.

Переход к турбулентности. Система переходит от упорядоченного пространственно-временного поведения к турбулентному при увеличении степени её неравновесности, к-рую можно характеризовать т. н. управляющим параметром (или параметрами) - Рейнольдса числом или его аналогами. Значения управляющего параметра, при к-рых один тип движения системы теряет устойчивость и на смену ему приходит другой, наз. к р и т и ч е с к и м и. Переход к Т. может происходить как скачкообразно (регулярное движение сразу сменяется турбулентным), так и в результате цепочки последовательных усложнений движения. При этом возможны ситуации, когда временное поведение поля темп-ры, скорости, давления или др. характеристик среды становится хаотическим при сохранении регулярной пространств. структуры. Хотя такой режим обычно Т. не называют, он обладает одним из основных её свойств - невоспроизводимостью движения при сколь угодно точном задании начальных и граничных условий.

Наиб. подробно исследованы переходы в течениях, ограниченных твёрдыми стенками, благодаря к-рым внешние неконтролируемые воздействия могут быть сведены к минимуму. Примером является течение жидкости, возникающее между двумя вращающимися с разными скоростями соосными цилиндрами (т. <н. т е ч е н и е Т е й л о р а - К у э т т а). На рис. 1 представлены зависимости осн. частот w пульсаций радиальной скорости от числа Рейнольдса Re, а на рис. 2- фотографии вихрей, наблюдавшихся при переходе к хаотическому режиму в течении Тейлора-Куэтта при -угл. скорость вращения внутр. цилиндра, внешний - неподвижен; r₁, r₂ - радиусы внутр. и внеш. цилиндров; v - коэф. кине-матич. вязкости]. При увеличении числа Рейнольдса наблюдалась следующая последовательность режимов (диапазоны чисел Рейнольдса обозначены соответствующими номерами на рис. 1). 1. Азимутальное (т. е. с линиями тока, образующими окружности с центрами на оси цилиндров) стационарное течение. 2. Стационарное течение в виде тороидальных вихрей - т. н. вихрей Тейлора (рис. 2, а). 3. Вихри Тейлора с волнообразными возмущениями на них, распространяющимися в азимутальном направлении,- азимутальные волны (рис. 2,6). Пульсации скорости, измеренные в одной точке,- периодические с основной частотой w₁ и её гармониками. 4. Модулированные волны на вихрях Тейлора (рис. 2, в). В спектре пульсаций появляется вторая независимая частота w₂ - квазипериодич. режим. 5. Хаотическое движение на фоне квазипериодического. В спектре возникает широкополосная компонента В с центр. частотой Исчезает дискретная компонента w₂. 7. Из спектра исчезает вторая дискретная компонента. Движение становится полностью хаотическим. Существенно, что при этом пространств. структура течения остаётся регулярной, достаточно простой и представляет собой суперпозицию всего лишь неск. мод (рис. 2, г). Их число не изменяется при переходах от одного режима к другому (в частности, и к хаотическому). Для таких переходов - от простой временной динамики к сложной - справедливы результаты теории конечномерных систем, что подтверждается совпадением результатов теории и эксперимента, а сами переходы эквивалентны известным бифуркациям в системах с сосредоточенными параметрами.

Рис. 1. Основные режимы течения Тейлора - Куэтта при переходе к турбулентности Представлены основные частотные компоненты (гармоники не пока заны), наблюдаемые в спектре радиальной составляющей скорости. Треугольники и вертикальные отрезки опреде ляют центральные частоты В и ширину сплошного спектра соответственно (P. R. Fenstermacher, Н. L. Swinney, J. P. Gollub, 1979).

Рис. 2. Фотографии визуализированных вихрей Тейлора: <; б-6,0; в-16,0; г -23,5 (P. R. Fenstermacher, Н. L. Swinney, J. P. Gollub, 1979).

Подобным образом происходит переход к Т. в подогреваемом снизу тонком горизонтальном слое (т. <н. к о н в е к ц и я Б е н а р а-Р э л е я). Отличие лишь в том, что при малой надкритичности (т. е. малом превышении управляющим параметром своего критич. значения) усложнение течения первоначально связано не с изменением временной динамики, а с изменением пространств. симметрии течения. В результате развития вторичных не-устойчивостей происходит усложнение индивидуальных структур и/или появляются дефекты в упорядоченной решётке структур. На рис. 3 представлено разбиение плоскости параметров Рэлея число Ra - Прандтля число Рr на области, где реализуются конвективные движения разл. типов где g- ускорение свободного падения, -разность температур на ниж. и верх. границе слоя, h - его толщина, v - вязкость, k - температуропроводность среды, b - коэф. теплового расширения). Первый переход от гидродинамич. равновесия к стационарной двумерной конвекции не зависит от Рr и при Ra>Ra₁ приводит к возникновению устойчивых структур в виде конвективных валов - двумерных вихрей (одномодовый режим). При больших числах Рr с ростом Ra происходит второй переход - при Ra> Ra₂ двумерные движения сменяются трёхмерными стационарными режимами, к-рые соответствуют возбуждению уже многих степеней свободы течения. Затем (при Ra>Ra₃ )этот стационарный режим переходит в колебательный [при малых Рr (Рr <5) стационарный одномодовый режим сразу сменяется нестационарным]. По мере роста неравновесности (числа Рэлея) характер колебат. движения усложняется и в области между границами 3 и 5 при возникают нерегулярные колебания со сплошным спектром. При дальнейшем увеличении усложняется и пространств. структура течения - в хаотическое движение включаются новые степени свободы - рождается Т.

Рис. 3. Области существования различных конвективных режимов в горизонтальном слое подогреваемой снизу жидкости, построенные на основе обработки экспери ментов с различными жидкостями и газами (R. Krishnamurti, 1973).

Примером течения, в к-ром наблюдается резкий переход, непосредственно переводящий течение из стационарного состояния в хаотическое со сложной пространств. структурой, является течение между параллельными поверхностями. Исходное плоскопараллельное течение (течение Пуазёйля, см. Пуазёйля закон) с зависимостью продольной компоненты скорости u(z )от поперечной координаты (2h - расстояние между поверхностями) становится неустойчивым по отношению к бесконечно малым двумерным возмущениям при Однако по отношению к двумерным возмущениям конечной амплитуды течение неустойчиво и при меньших числах Рейнольдса (д о к р и т и ч е с к а я н е у с т о й ч и в о с т ь). Для течений с докритич. неустойчивостью характерно, что неустойчивые возмущения в них возникают в виде волн с конечной амплитудой. В течении Пуазёйля эти волны, в свою очередь, являются неустойчивыми по отношению к трёхмерным бесконечно малым возмущениям. Более того, как показывают численные и физ. эксперименты, неустойчивость по отношению к трёхмерным возмущениям сохраняется для двумерных волн достаточно большой амплитуды и при таких Re, при к-рых они являются затухающими (700<=Re<=2900). Существующие в реальных течениях нач. возмущения обычно приводят в действие докритич. неустойчивость. При этом возникают пакеты трёхмерных возмущений достаточно большой амплитуды, способные из-за нелинейных процессов преобразовываться в мелкомасштабную Т. Течение в этом случае состоит из уединённых областей Т. (турбулентных пятен), погружённых в ламинарное окружение (рис. 4). Рост Re ведёт к увеличению числа случайно разбросанных турбулентных пятен, а затем и к турбулизации всей области течения.

Рис. 4. Визуализация турбулентного пятна в плоском те чении Пуазёйля при R е=10³, h=3 мм на расстоянии х=64h от входа в канал (D. R. Carbon, S. Е. Widnall, M. F. Peeters, 1982).

Ещё более сложные и разнообразные процессы обнаруживаются при переходе от ламинарного течения к турбулентному в пограничных слоях вблизи твёрдых поверхностей. В простейшем случае пограничного слоя на плоской пластине его толщина и локальное число Рейнольдса растут с расстоянием х вдоль потока. Линейный анализ устойчивости показывает, что достаточно слабые возмущения, распространяясь вдоль потока, должны неизбежно затухать. Поэтому, как и в случае течения Пуазёйля с докритич. неустойчивостью, на характер перехода влияет уровень возмущений в набегающем потоке, запускающих нелинейные механизмы, а в переходной области также наблюдаются турбулентные пятна, хотя и с несколько отличающимися параметрами. При задании регулярных нач. двумерных возмущений (напр., с помощью вибрирующей ленты) с ростом Re (т. е. с увеличением расстояния вдоль потока) удаётся обнаружить последовательность бифуркаций, хотя и более сложных, чем в течении Тейлора - Куэтта.

Статистический подход. Систематич. исследованиям статистич. свойств Т. положили начало наблюдения О. Рейноль-дса (О. Reynolds, 1883) перехода от упорядоченного ламинарного течения к неупорядоченному турбулентному течению жидкости в трубе. Осознание того факта, что структура течения оказывается непредсказуемой и непостижимой в деталях, привело к потребности усреднённого описания. Матем. выражением такого описания явились ур-ния Рейнольдса:

Здесь плотность несжимаемой жидкости положена равной единице; -тензор вязких напряжений (v - кинематич. вязкость); -тензор рейнольдсовых напряжений; Р, U_j - давление и компоненты скорости, получающиеся после усреднения; скобки <> означают операцию усреднения, конкретное определение к-рой зависит от характера решаемой задачи, напр. это может быть усреднение по мелким масштабам или быстрым движениям; u_j - пульсации скорости относительно усреднённых значений, удовлетворяющие ур-ниям

Усреднение, по Рейнольдсу, не является самосогласованной процедурой. Число переменных оказывается больше, чем число ур-ний. Получение ур-ния для последовательным умножением ур-ний для u_j на u_k и усреднением ведёт к иерархии ур-ний, зависящих от высших моментов и порождает т. н. проблему замыкания. Обычно эта проолема разрешается с помощью разного рода гипотез относительно статистич. свойств пульсаций скорости, позволяющих выразить высшие моменты через низшие с сохранением свойств симметрии ур-ний. Хотя такие гипотезы не всегда корректны и мало полезны в идейном плане, они позволяют с помощью ур-ний Рейнольдса получать важные практич. результаты, касающиеся свойств усреднённых полей в турбулентных пограничных слоях и течений в гладких и шероховатых трубах.

Наиб. очевидной и подчас технически наиб. важной особенностью турбулентного течения жидкости является существенно больший по сравнению с ламинарным перенос вещества, импульса и энергии. В др. средах Т., как правило, также приводит к интенсификации переноса явлений, хотя физ. механизмы аномально высоких коэффициентов переноса в разных средах, естественно, различны. В частности, именно обнаружение в кон. 40-х гг. аномальной диффузии плазмы поперёк магн. поля, связанной с пульсациями электрич. поля, послужило началом проникновения понятия Т. в физику плазмы.

Наиб. ранние попытки описать турбулентное перемешивание были предприняты в гидродинамике с использованием моделей, опирающихся на аналогию с ламинарным течением. Началом такого подхода послужила работа Дж. Буссинеска (J. Boussinesq, 1877), к-рый (по совр. терминологии) связал напряжения Рейнольдса со ср. скоростью U вслучае изменения скорости лишь в поперечном к её вектору, y -направлении, Коэф. пропорциональности v _т аналогичен коэффициенту вязкости, связывающему вязкие напряжения со ср. скоростью, и поэтому получил назв. турбулентной вязкости. Его величина (l -эмпирически определяемый масштаб Т.) обычно значительно превосходит величину молекулярной вязкости и может изменяться в пространстве и времени.

Дж. Тейлор (G. Taylor, 1921), исследуя перенос частиц Т., нашёл закон -положение меченой частицы в момент времени t, имевшей нач. положение а (ср. скорость полагается отсутствующей, < х> = 0). Эфф. коэффициент диффузии (в изотропной Т., см. ниже)

где -лагранжева скорость частицы. Появление в этом выражении временной ф-ции корреляции скорости очень существенно - тейлоровское описание турбулентной диффузии содержит первые ростки статистич. подхода к Т. В дальнейшем (1935) Тейлор сформулировал проблему Т. в терминах корреляционных функций эйлеровых скоростей. Однако в общем виде идея о том, что корреляц. ф-ции (и др. статистич. моменты гидродинамич. полей) являются осн. характеристиками турбулентного движения, была высказана ещё раньше Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (на основе ур-ний движения реальной жидкости) интегро-диффе-ренц. ур-ний для моментов произвольного порядка гидродинамич. полей турбулентных течений. Получаемая с помощью этого метода полная бесконечная система ур-ний для всевозможных моментов даёт аналитич. формулировку проблемы Т. Однако любая конечная подсистема этой системы ур-ний, как и в случае ур-ний Рейнольдса, не замкнута.

К о л м о г о р о в с к и й с п е к т р Т. Одним из замечательных достижений статистич. подхода является теория Колмогорова однородной изотропной Т., т. е. Т., статистич. характеристики к-рой в произвольной системе точек r₁ r₂,...r_N не меняются при любых параллельных переносах, поворотах и зеркальных отображениях системы, сопровождающихся одноврем. поворотом или зеркальным отражением системы координат. Эта теория объединяет ряд гипотез и результатов [А. Н. Колмогоров, 1941; А. М. Обухов, 1941; несколько позже, но, по-видимому, независимо - Л. Онсагер (L. Onsager), 1945; В. Гейзенберг (W. Heisenberg), 1948; К. Вейцзекер (С. Weizsacker), 1948], связанных с универсальностью спектров в т. н. инерционном интервале (см. ниже). Матем. предпосылкой теории Колмогорова является масштабная инвариантность (скейлинг) Навье - Стокса уравнений (в пределе исчезающей вязкости) относительно одноврем. замены длины времени и скорости где h -произвольный показатель. Колмогоровская теория основывается на следующих предположениях: 1) масштабная инвариантность предполагается лишь в статистич. смысле - масштабно-инвариантными являются только усреднённые величины; 2) имеется конечный поток энергии e от больших масштабов к меньшим; 3) поток энергии e_l на масштабах l предполагается зависящим только от величин, имеющих тот же масштаб l (в частности, от l и скорости u_l в вихрях масштаба l). Поскольку e_l имеет размерность энергии единицы массы в единицу времени, анализ размерности даёт из чего следует, что Тогда масштабная инвариантность e означает, что h= 1/3. Масштабная инвариантность нарушается на больших масштабах L, сравнимых с размерами течения, где сказывается механизм возбуждения Т., и на малых - к о л м о г о р о в с к и й д и с с и п а т и в н ы й м а с ш т а б], где сказывается вязкость. Интервал на к-ром применимы соображения подобия, наз. и н е р ц и о н н ы м и н т е р в а л о м (рис. 5).

Важными следствиями масштабной инвариантности (с h = ¹/₃ )в инерц. интервале являются: структурная ф-ция порядка р, определённая как среднее от р- й . степени разности скоростей измеренных в точках, отстоящих на расстояние l, степенным образом зависит от этого расстояния: спектральная плотность энергии Т., определяемая Фурье преобразованием структурной ф-ции второго порядка, удовлетворяет закону где k - волновое число, а с - постоянная Колмогорова (скейлинг не определяет величины этой константы); вихревая вязкость на масштабе l определяется соотношением

Рис. 5. Одномерные спектры пульсаций продольной и поперечной -компонент скорости на оси осесимметричной струи при Re =3,7^.10⁵ на расстоянии 70d (k- продольная компонента волнового вектора, d- диаметр сопла). Типичным для таких спектров явля ется наличие трёх выделенных интервалов: 1 -энерго содержащий интервал, в котором форма спектра зависит от механизма возбуждения турбулентности; 2 - инер ционный интервал, характеризующийся постоянным потоком энергии по спектру; 3-интервал вязкой дисси пации энергии.

Прошло ок. 20 лет с момента создания теории Колмогорова и выдвижения им гипотезы, что при больших числах Рейнольдса Т. является локально (т. е. для достаточно мелкомасштабных движений) однородной иизотропной, прежде чем она получила эксперим. подтверждение. Эксперименты, выполненные к 1962 в следе за островом в канале около Ванкувера во время прилива, при числах Рейнольдса , продемонстрировали закон для волновых чисел, изменяющихся на три порядка. В последующие годы универсальность этого закона была подтверждена экспериментами во многих др. течениях при больших числах Рейнольдса: в струях, сдвиговых слоях, в лаб. и атм. пограничных слоях, в следе за цилиндром и т. п.

Универсальность спектра Колмогорова - независимость от источника энергии - является в определ. степени специфич. свойством, присущим Г. в простых средах, напр. в нейтральных жидкостях, в к-рых отсутствует характерный внутр. масштаб. В более сложных средах, напр. в плазме, Т.- результат взаимодействия разл. полей и/или возбуждений с разными характерными частотами, масштабами и полосами поглощения (см. Турбулентность плазмы). Кроме того, существенными могут оказаться нелинейные механизмы диссипации - коллапс ленгмюровских волн в плазме (см. Волновой коллапс), обрушение внутренних волн или волн на поверхности жидкости и т. п. В такой ситуации простые модели типа инерц. интервала и передачи энергии от крупномасштабных движений к мелкомасштабным неприменимы, а одних только соображений размерности недостаточно для получения результатов в замкнутом виде. Степенные спектры в подобных ситуациях также возможны, но при определ. ограничениях, напр. если выполнены условия возбуждения лишь одного типа волн. Для слабой Т. такие спектры в приближении случайных фаз могут быть получены из кинетич. ур-ний для волн. Примером является спектр Захарова - Филоненко для капиллярных волн, к-рый также соответствует инерц. интервалу.

П е р е м е ж а е м о с т ь Т. Из экспериментов выяснилось, что колмогоровский спектр часто наблюдается не только там, где он должен обнаруживаться - в инерционном интервале,- но и в диапазоне малых волновых чисел и/или даже при умеренных числах Рейнольдса, когда критерии однородности и изотропности Т...строго говоря, не выполнены. Это привело к выводу, что колмогоровский закон основанный на самых общих предположениях, не отражает всю специфику гидродинамич. Т., описываемой ур-ниями Навье - Стокса. Имеется ещё одно существенное противоречие между колмогоровской моделью и экспериментом, заключающееся в следующем. Предположение теории Колмогорова о том, что единственный размерный параметр, определяющий свойства Т. в инерц. интервале,- ср. скорость передачи энергии по спектру (равная скорости её диссипации) - в действительности нарушается, если e является сильно флуктуирующей величиной (Л. Д. Ландау, 1944). В этом случае появляются дополнит. независимые параметры, характеризующие ста-тистич. свойства e. Эксперименты Дж. Бэтчелора (G. Batchelor) и А. Таунсенда (A. Townsend) в 1949 и многих др. исследователей не только свидетельствуют о флук-туац. характере e в пространстве и времени, но и показывают, что осн. вклад в усреднённое значение e дают редкие её флуктуации, существенно превышающие фоновый уровень. Это свойство, получившее назв. перемежаемости Т., иллюстрирует рис. 6, на к-ром представлена скорость диссипации g флуктуации концентрации пассивной примеси, величины, во многом аналогичной e.

Рис. б. Скорость диссипации g флуктуации концентрации пассивной примеси в поперечном сечении струи (фрагмент). Наличие пиков свидетельствует о сильной перемежаемости течения (С. Meneveau. К. R. Sreenivasan, 1989).

Учёт перемежаемости привёл в дальнейшем к созданию. фрактальной модели Т. Её физ. интерпретация состоит в следующем. В процесс передачи энергии от крупных вихрей кболее мелким вовлечён не весь объём крупного вихря, а лишь его активная часть, к-рая может быть охарактеризована хоэф. равным отношению объёма вновь образующихся вихрей с масштабом к объёму исходного вихря с масштабом где l₀ -характерный масштаб всего течения. Это приводит к следующему выражению для структурной ф-ции:

где D_b -фрактальная размерность (см. Фракталы )области, занятой активными вихрями (естественно, речь идёт о фрактальной размерности, получающейся при "физ." переходе к пределу при условии l> l_d). Хотя в этой модели (b-модель) свободный параметр D_b не определён, её точным следствием является линейная зависимость x_p от р, к-рая не подтверждается эксперим. данными для высших моментов. Это несоответствие снимается в м у л ь т и ф р а к т а л ь н о й м о д е л и, в к-рой предполагается, что передача энергии от больших масштабов к меньшим сосредоточена на множествах S_h с фрактальной размерностью D (h), на каждом из к-рых в инерц. интервале также имеет место масштабная инвариантность, но со своим показателем h. Фрактальная картина Т. хорошо видна, напр., на рис. 6, 7.

Структурный подход. Основы структурного подхода были заложены Л. Ричардсоном (L. Richardson, 1922), предложившим каскадную модель передачи энергии от крупных вихрей к мелким. В его модели при исходное течение является неустойчивым (здесь U- скорость течения, l₀ - его характерный глобальный масштаб). Развитие неустойчивости ведёт к его разрушению и образованию вихрей с размерами и скоростями Поэтому число Рейнольдса рассчитанное для вновь образовавшихся вихрей, несколько меньше, чем Но при достаточно больших числах Рейнольдса исходного течения Re₁. также достаточно велико, и эти вихри также неустойчивы. Поэтому они преобразу-ются во вторичные вихри с размерами l₂ и скоростями u₂, меньшими, чем l₁ и u₁ и т. д. Этот процесс рождения вихрей идёт до тех пор, пока число Рейнольдса, рассчитанное по размерам и скорости на п- омшаге каскада, не станет примерно равным критическому Re_c, при к-ром вихри устойчивы и диссипируют из-за вязкости.

Рис. 7. Двумерное сечение струи, визуализированной красителем, флуоресцирующим в поле лазерного излу чения. Число Рейнольдса Re =4^.10³, изображённая область простирается от 8d до 24d (d- диаметр струи) (К. R. Sreenivasan, 1991).

Совр. структурный подход к Т. основан на экспериментах, обнаруживших волны Толлмина - Шлихтинга (как проявление неустойчивости в переходном течении) [Г. Шу-бауэр, Г. Скрэмстед (G. Schubauer, H. Skramstad), 1948]; неоднородности завихренности в однородных изотропных турбулентных течениях (Дж. Бэтчелор, А. Таунсенд, 1949); турбулентные пятна Г. Эммонса (H. Emmons, 1951); структуры в пристеночных сдвиговых течениях [С. Клайн, П. Ранстедлер (S. Kline, P. Runstadler), 1959]; структуры в турбулентных сдвиговых слоях [Дж. Браун и А. Рошко (G. Brown, A. Roshko), 1974]. В нек-рых течениях (конвекция в подогреваемом снизу плоском слое, течение между вращающимися цилиндрами) при потере устойчивости однородного состояния спонтанно, т. е. без внешнего организующего воздействия, возникают упорядоченные структуры в виде разл. рода решёток (см., напр., рис. 2). Дальнейшее увеличение степени неравновесности среды приводит к усложнению (также спонтанному) индивидуальных структур или к появлению дефектов в упорядоченной решётке через последовательную цепочку бифуркаций. При этом ячейки являются настолько устойчивыми образованиями, что идентифицируются как в переходном, так и в турбулентном режимах, а пространственно-временной беспорядок связан с хаотич. движением дефектов на фоне упорядоченной решётки или (при дальнейшем увеличении надкритичности) самих структур.

Мелкомасштабная Т., возникающая в результате последовательного каскада большого числа пространственных и временных бифуркаций, приводящих к полному разрушению первичных структур, в конце концов оказывается устроенной настолько сложным образом, что идентифицировать структуры можно не во всяких течениях. Это можно сделать, напр., в сильно неоднородных и анизотропных течениях, когда на топологию структур существенно влияют динамич. и кинематич. ограничения, связанные с геометрией потока. Примерами подобных структур могут служить продольные вихри в сдвиговых течениях, генерируемые вблизи седловых точек поля скорости крупномасштабных структур, рябь и "подковы" на спиральных вихрях при обтекании вращающихся тел (рис. 8). Такие структуры обнаруживаются не только в области перехода, но и в полностью развитом турбулентном течении. Интересна с этой точки зрения структура пограничного слоя на плоской пластине - значит. часть её трёхмерной завихренности сосредоточена в мелкомасштабных "шпилькообразных" вихрях, к-рые сносятся потоком примерно с одинаковой скоростью и сравнительно слабо взаимодействуют друг с другом.

Рис. 8. Развитие турбулентности из спиральных вихрей, формирующихся в пограничном слое при обтекании вра щающегося конуса: а) U= 1,7 м/с; n = 670 об/мин; б) U=1,0 м/с; п=1200 об/мин. Здесь U- скорость набегающего потока, п - частота вращения (R. Kobayashi, L. Kohama, M. Kurosawa, 1983).

В полностью развитых турбулентных течениях наблюдаются также и упорядоченные крупномасштабные структуры (КС) на фоне мелкомасштабной Т. Можно выделить два механизма, приводящих к их возникновению. В простейшем случае - это результат вторичной неустойчивости турбулизованного ср. течения (КС в турбулентных сдвиговых слоях, струях, в следе за плохо обтекаемыми телами при больших числах Рейнольдса и т. п.). Более нетривиальна генерация крупномасштабного поля завихренности непосредственно (даже в отсутствие неоднородности ср. течения) мелкомасштабной Т. (это явление наз. также вихревым динамо). При этом передача энергии от мелких масштабов к более крупным возможна при достаточной степени анизотропии течения. Кроме анизотропии, на обратный каскад передачи энергии влияют также гиро-тропность мелкомасштабной турбулентности и сжимаемость жидкости.

Динамический подход. Для любой Т. (гидродинамической, плазменной и т. п.) фундаментальным является вопрос, каким способом нелинейное поле переходит в неупорядоченное, случайное движение, не зависящее от неконтролируемых флуктуации и внеш. шумов. Этот вопрос оставался в стороне как при статистическом, так и в структурном подходах. Первые попытки объяснить неупорядоченное, хаотич. течение с чисто динамич. позиций были предприняты Л. Д. Ландау (1944) и Е. Хопфом (Е. Hopf, 1948). В их модели усложнение течения происходит за счёт развития иерархии неустойчивостей с несоизмеримыми временными масштабами. Поле скорости оказывается тем более неупорядоченным, чем большее число возбуждений с несоизмеримыми масштабами участвует в его формировании. Автокорреляц. ф-ция поля скорости такого течения быстро спадает, а обнаружить регулярность можно лишь наблюдая процесс в течение времени, большего, чем время возврата Пуанкаре (см. Пуанкаре теорема) - число возбуждений с независимыми частотами . Образом такой Т. является аттрактор в виде незамкнутой намотки на многомерном торе. Подобный аттрактор, однако, как показал последующий анализ Д. Рюэля и Ф. Такенса (D. Ruelle, F. Takens, 1971), является структурно неустойчивым, т. е. он разрушается при малом изменении параметров системы. Это означает, что такое сложное квазипериодич. течение, как правило, реализоваться не может.

Принципиальное изменение представлений о природе Т. произошло после открытия феномена динамич. хаоса - случайного поведения полностью детерминированных систем. Образом случайного движения динамич. системы является странный аттрактор. Странный аттрактор - притягивающее множество траекторий, среди к-рых все (или почти все) являются неустойчивыми (седловыми)-может возникнуть после небольшого числа бифуркаций в фазовом пространстве даже весьма простых течений. Наиб. известный пример - конвекция в подогреваемой тороидальной полости, расположенной в вертикальной плоскости. Образом хаотич. колебаний вращат. движения жидкости внутри такой полости служит странный аттрактор - аттрактор Лоренца. По совр. представлениям, в фазовом пространстве для ур-ний Навье- Стокса при определ. условиях должен существовать странный аттрактор, движение по к-рому соответствует режиму установившейся Т.

Наиб. успехи в использовании динамич. подхода достигнуты при исследовании перехода от ламинарного к хаотическому во времени течению жидкости. Наиб. распространённые сценарии перехода к хаосу в простых ситуациях (течение Тейлора - Куэтта между вращающимися цилиндрами, термоконвекция) - это: разрушение квазипериодич. движений; перемежаемость; бесконечная последовательность удвоений периода. В экспериментах наблюдаются и более сложные сценарии, однако обнаружение именно этих канонич. сценариев в реальных течениях обосновало справедливость представлений о динамич. характере процессов в области перехода к Т. Эти же сценарии обнаружены и в численных экспериментах с полными [точнее, моделируемыми на компьютере с достаточно большим числом ячеек сетки] ур-нениями Навье - Стокса при числах Рейнольдса

Применимость теории динамич. хаоса к описанию возникновения Т. обосновывается не только характером бифуркаций течения, предшествующих возникновению беспорядка, но и тем, что непосредственно по наблюдаемым данным удаётся восстановить странный аттрактор за точкой перехода. Идеи обработки хаотич. сигналов с целью диагностики их происхождения и воспроизведения аттрактора соответствующей динамич. системы были высказаны Такенсом (1981) и впервые реализованы в экспериментах с течением Тэйлора - Куэтта и с термоконвекцией в замкнутой полости [Дж. Голлаб, X. Суинни (J. Gollub, H. Swin-пеу), 1983]. Эти эксперименты подтвердили, что хаосу вблизи точки перехода действительно соответствует странный аттрактор малой размерности. Существенно, что для определения размерности течения необязательно восстанавливать аттрактор. В 1983 Р. Гроссбергер (R. Grassberger) и И. Прокачиа (I. Procaccia) предложили процедуру измерения размерности непосредственно по наблюдаемому сигналу.

В рамках динамич. подхода удаётся объяснить и происхождение пространственно-неупорядоченного движения. При этом исходным является тот очевидный для теории динамич. систем факт, что движение индивидуальных жидких элементов, удовлетворяющее ур-нию где - поле скорости, удовлетворяющее ур-нию Навье- Стокса, может быть хаотическим, даже если скорость u(x,t )регулярна. Такое неупорядоченное движение обычно называют лагранжевой Т. При подходящих условиях в системе, к-рая демонстрирует лагранжеву Т., может развиться и Т. поля скорости. В частности, полевые ур-ния (не только гидродинамические) в ряде случаев могут быть преобразованы (без приближений) в многочастичную задачу для нек-рого класса решений. Роль частиц здесь играют особенности самого поля или сформированные им локализованные структуры, напр. вихри. Хаотич. движение таких частиц и есть, собственно, пространственно-временной беспорядок.

В периоды своего возникновения и развития разл. подходы- статистический, структурный и динамический - представлялись их сторонниками единственно приемлемыми для описания феномена Т. Поэтому они развивались параллельно и практически независимо. Результаты, полученные в каждом из них, зачастую относились к разл. задачам и отвечали на вопросы, возникающие в качественно разл. эксперим. ситуациях. Эти подходы складываются в единую теорию Т., и уже кажется удивительным, что их автономия просуществовала столь долго.

Проявления турбулентности. Т. относится к наиб. распространённым в природе и в техн. устройствах явлениям. Масштабы Т. простираются от космического до порядка длины световой волны. Турбулентными, в частности, являются: течение воды в реках, морях, океанах и в кровеносных сосудах; межзвёздные газовые туманности; струи реактивных двигателей и газовых горелок; общая циркуляция атмосферы планет, недр звёзд; конвективные потоки в жилых помещениях. Т. также возникает при движении гребных винтов, турбин, летательных аппаратов и биол. объектов; при протекании как медленных, так и быстрых (горение, взрыв) хим. реакций; в космич. и лаб. плазме. Будучи порождённой нек-рыми процессами и движениями, Т., в свою очередь, оказывает существенное влияние на их протекание и состояние среды в целом благодаря её свойству интенсифицировать перенос кол-ва движения и вещества. В частности, Т. атмосферы играет осн. роль в процессах переноса тепла и влаги с поверхности суши и океана, определяя тем самым её состояние и изменения погоды. Существенна её роль и для др. процессов, непосредственно не связанных с Т. Так, напр., возникающие в ней случайные поля темп-ры, плотности, давления, влажности и т. п. влияют на распространение эл.-магн. и аку-стич. волн. Это приводит к ряду интересных эффектов, играющих, с точки зрения деятельности человека, как от-рицат. роль (в частности, для оптич. астрономии и радиоастрономии), так и положительную (напр., способствуя более надёжной радиосвязи, уменьшая область тени благодаря диффузному рассеянию коротких эл.-магн. волн).

Интенсивная Т. не только рассеивает волны, но и сама является их источником: электромагнитных-в плазме, внутренних - в океане, акустических - в сжимаемой среде. Излучённые поля содержат информацию о Т. и могут быть использованы для её диагностики. Процессы генерации волн турбулентными движениями среды представляют и практич. важность; напр., уровень акустич. излучения реактивных двигателей летательных аппаратов настолько высок, что учитывается при их коммерч. оценке.

В гидродинамике наиб. важным, с практич. точки зрения, является влияние Т. на сопротивление движущихся тел, к-рое под её влиянием может как увеличиваться, так и уменьшаться. Для хорошо обтекаемых (удлинённых вдоль набегающего потока) тел осн. вклад даёт сопротивление трения, к-рое является равнодействующей касательных напряжений и поэтому после перехода к турбулентному режиму возрастает из-за большего переноса кол-ва движения Т. Для плохо обтекаемых тел (типа поперечно обтекаемого цилиндра) большую роль играет сопротивление давления, являющееся равнодействующей давления на поверхность и обычно уменьшающееся после турбулиза-ции течения. Это наряду с исследованиями свойств развитой Т. и методов расчётов турбулентных течений порождает и другую практически важную задачу - управление переходом к Т.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности, ч. 1-2, М., 1965-67; Цытович В. Н., Теория турбулентной плазмы, М., 1971; Турбулентность. Принципы и применения, под ред. У. Фроста, Т. Моулдена, пер. с англ., т. 1, М., 1980; Вихри и волны, пер. с англ , М., 1984; Рабинович М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, "УФН", 1990, т. 160, с. 3; Sreenivasan К. R., Fractals and multifractals in fluid turbulence, "Ann. Rev. Fluid Mech.", 1991, v. 23, p. 539.

М. И. Рабинович, М. М. Сущик.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.