ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

ЛОРЕНЦА СИСТЕМА
ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

- система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:

2554-181.jpg

решения к-рой в широкой области параметров являются нерегулярными ф-циями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу ( Р r - Прандтля число,2554-189.jpg - приведённое Р э -лея число, b- определяется выбором моды в Фурье-разложении поля скорости и темп-ры).

2554-182.jpg

Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r: а) 2554-183.jpg ; б) 2554-184.jpg; в)2554-185.jpg г) 2554-186.jpg д) 2554-187.jpg е)2554-188.jpg


Л. с.- один из примеров динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор, движение изображающей точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению жидкости при тепловой конвекции.

2554-190.jpg

Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.

Л. с. (при b=l) описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла 2554-191.jpg) темп-pa Т(2554-192.jpg); ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa в точке N, a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г<1) жидкость неподвижна, далее (при 2554-193.jpg ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r всё течение становится чувствительным к малым изменениям нач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно: жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда - против.

При обычно используемых значениях Pr=10, b=8/3 Л. с. обладает след. свойствами: ур-ния Л. с. инварианты относительно преобразования 2554-194.jpg, 2554-195.jpg2554-196.jpg фазовый объём сокращается с пост. скоростью

2554-197.jpg

за единицу времени объём сокращается в 2554-198.jpg 106 раз. С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации. 1) При 2554-199.jpg единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат О (О, О, 0). 2) При 2554-200.jpg , где r1=13,92, Л. с. кроме упомянутого тривиального ( О )имеет ещё два состояния равновесия 2554-201.jpg, 2554-202.jpg. Состояние равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразие и одномерное неустойчивое, состоящее из О и двух сепаратрис 2554-203.jpg и 2554-204.jpg, стремящихся к 2554-205.jpg и 2554-206.jpg (рис. 1, а). 3) При r=r1 каждая из сепаратрис становится двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе r через r1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодич. движения - предельные циклы L1 и L2. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при 2554-207.jpg (рис. 1, в), где r2=24,06, все траектории по-прежнему стремятся к 2554-208.jpg. Эта ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы 2554-209.jpg _ и 2554-210.jpgидут к "не своим" состояниям равновесия 2554-211.jpg и 2554-212.jpgсоответственно. 4) При 2554-213.jpg, гдо 2554-214.jpg = 24,74, в Л. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия 2554-215.jpgсуществует ещё притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий,- аттрактер Лоренца (рис. 1, д ирис. 3). 5) При 2554-216.jpg седловые циклы L1 и L2 стягиваются к состояниям равновесия 2554-217.jpg и 2554-218.jpg, к-рые при 2554-219.jpgтеряют устойчивость, и при 2554-220.jpg единственным притягивающим мно-


жеством Л. с. является аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить 2554-222.jpg к 2554-223.jpg со стороны меньших значений, то стохастичность в Л. с. возникает сразу, скачком, т. е. имеет место жёсткое возникновение стохастичности.

2554-221.jpg

Рис. 3. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат); горизонтальная плоскость соответствует r = = 27, r=28.

К Л. с. сводятся не только ур-ния, описывающие конвективные движения жидкости, но и др. физ. модели (трёхуровневый лазер, дисковое динамо и т. д.).

Лит.: Lorenz E., Deterministic nonperiodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, p. 130; в рус. пер., в кн.: Странные аттракторы, М., 1981, с. 88; Гапонов - Грехов А. В., Рабинович М. И., Хаотическая динамика простых систем, "Природа", 1981, № 2, с. 54; Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П., О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца, "Тр. Московского матем. общества", 1982, т. 44, с. 150; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. В. Г. Шехов.


Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. . 1988.


.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "ЛОРЕНЦА СИСТЕМА" в других словарях:

  • ЛОРЕНЦА - МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ — фундам. ур ния классич. электродинамики, определяющие микроскопич. эл. магн. поля, создаваемые отдельными заряж. частицами. Л. М. у. лежат в основе электронной теории (классич. микроскопич. электродинамики), построенной X. А. Лоренцем в кон. 19… …   Физическая энциклопедия

  • Система отсчёта инерциальная — система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Всякая система… …   Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

  • СИСТЕМА ОТСЧЕТА — (в ф и з и к е) – система тел, по отношению к к рой определяются положения исследуемого тела (или места событий) и отмечаются моменты времени, соответствующие этим положениям. С этой целью с выбранной системой тел связывают обычно к. л. систему… …   Философская энциклопедия

  • СИСТЕМА ОТКЛОНЯЮЩАЯ — устройство между анодом и экраном электронно лучевого прибора, служащее для отклонения электронного луча млн. его перемещения по экрану (см. ) в соответствии с некоторым законом. Для управления электронным лучом применяют магнитную,… …   Большая политехническая энциклопедия

  • Лоренца преобразования — Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы… …   Википедия

  • Лоренца преобразования —         в специальной теории относительности преобразования координат и времени какого либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) к другой. Получены в 1904 Х. А. Лоренцом как преобразования …   Большая советская энциклопедия

  • ЛОРЕНЦА АТТРАКТОР — компактное инвариантное множество Lв трехмерном фазовом пространстве гладкого потока {St}, к рое имеет указанную ниже сложную топологич. структуру и является асимптотически устойчивым (т. е. оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из нек рой… …   Математическая энциклопедия

  • Лоренца сила — сила (f), действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле; выражается установленной Х. А. Лоренцем в конце XIX в. формулой: (в СГС системе единиц), где e, v  заряд и скорость частицы, E  напряжённость электрического поля, B  …   Энциклопедический словарь

  • Система физических величин — Возможно, эта статья содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае она может быть выставлена на удаление. Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. (25 мая 2011) …   Википедия

  • ЛОРЕНЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ — [по имени голл. физика X. А. Лоренца (Н. A. Lorentz; 1853 1928)] соотношения между координатами и моментами времени к. л. события, рассматриваемого в двух инер циальных системах отсчёта К (х, у, z, t) и К (х , у , z , t ), движущихся одна… …   Большой энциклопедический политехнический словарь


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»