Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера^[1]:

$\left \{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt} = -y - z \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \\ \frac{dz}{dt} = b + z(x-c) \end{matrix} \right.$ ;

где $a,b,c$ — положительные постоянные. При значениях параметров $a = b = 0,2$ и $2, 6 \le c \le 4,2$ уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода. Сразу же за точкой $c = 4,2$ возникает явление хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных $a = 0.2$, $b = 0.2$ и $c = 5.7$, но также часто используются и значения $a = 0.1$, $b = 0.1$, and $c = 14$^[2].

Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с $z = 0$.

$\left \{ \begin{matrix} \frac{dx}{dt} = -y \\ \frac{dy}{dt} = x + ay \end{matrix} \right.$

Устойчивые решения для $x, y$ могут быть найдены вычислением собственного вектора матрицы Якоби вида $\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & a\\\end{pmatrix}$, для которой $\frac {a \pm \sqrt{a^2 - 4}} {2}$.

$x,y$ plane of Rössler attractor with $a=0.2$, $b=0.2$, $c=5.7$

Аттрактор Рёсслера как стереограмма с $a=0.2$, $b=0.2$, $c=14$

Отсюда видно, что когда $0 < a < 2$ собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассмотривать плоскость $Z$ в том же диапазоне $a$.Пока $x$ меньше $c$, параметр $c$ буде удерживать траекторию близкую к плоскости $x, y$. Как только $x$ станет больше $c$, $z$-координата начнёт увеличиваться, а чуть позже параметр $-z$ будет тормозить рост $x$ в $\frac {dx} {dt}$.

Точки равновесия

Для того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и $xyz$-координаты каждой точки равновесия находятся путем решения полученных уравнений. В итоге:

$\left \{ \begin{matrix} x = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2} \\ y = -\left(\frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a}\right) \\ z = \frac{c\pm\sqrt{c^2-4ab}}{2a} \end{matrix} \right.$

Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёссела, одна из этих неподвижных точек находится в центре аттрактора, а другие лежат сравнительно далеко от центра.

Изменение параметров a, b и c

Поведение аттрактора Рёсслера в значительной степени зависит от значений постоянных параметров. Изменение каждого параметра даёт определённый эффект, в результате чего система может сойтись к периодической орбите, к неподвижной точке или устремиться в бесконечность. Количество периодов аттрактора Рёсслера определяется числом его витков вокруг центральной точки, которые возникают перед серией петель.

Бифуркационные диаграммы являются стандартным инструментом для анализа поведения динамических систем, в которые включён и аттрактор Рёсслера. Они создаются путем решения уравнений системы, где фиксируются две переменные и изменяется одна. При построении такой диаграммы получаются почти полностью «закрашенные» регионы; это и есть область динамического хаоса.

Изменение параметра a

Зафиксируем $b = 0.2$, $c = 5.7$ и будем изменять $a$.

В итоге опытным путём получим такую таблицу:

• $a \leq 0$: Сходится к устойчивой точке.
• $a = 0.1$: Крутится с периодом 1.
• $a = 0.2$: Хаос (стандартный параметр уравнений Рёсслера) .
• $a = 0.3$: Хаотичный аттрактор.
• $a = 0.35$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется сильнее.
• $a = 0.38$: Аналогичен предыдущему, но хаос проявляется ещё сильнее.

Изменение параметра b

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying $b$

Зафиксируем $a = 0.2$, $c = 5.7$ и будем менять теперь параметр $b$. Как видно из рисунка, при $b$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда $b$ станет больше $a$ и $c$, система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра c

Bifurcation diagram for the Rössler attractor for varying $c$

Зафиксируем $a = b = 0.1$ и будем изменять $c$. Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких $c$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. рисунки показывают как именно меняется хаотичность системы при увеличении $c$. Например при $c$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда $c$ = 3 и так далее; пока $c$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений $c$, которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Примечания

1. ↑ Peitgen, Heinz-Otto; Jürgens, Hartmut & Saupe, Dietmar (2004), "12.3 The Rössler Attractor", «Chaos and Fractals: New Frontiers of Science», Springer, сс. 636–646 .
2. ↑ Letellier, C.; V. Messager (2010). «Influences on Otto E. Rössler’s earliest paper on chaos». International Journal of Bifurcation & Chaos 20 (11): 3585–3616.

Ссылки

• Флэш-анимация
• O,E. ROSSLER — AN EQUATION FOR CONTINUOUS CHAOS
• Java-анимация аттракторов Рёсслера и Лоренца
• Построилка атткаторов для MacOS
• Аттрактор Рёсслера на Scholarpedia.org

Литература

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.