Дельта-функция Дирака

Дельта-функция Дирака

δ-функция (или дельта-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a евклидова пространства \mathbb R^n, записывается с помощью δ-функции в виде δ(xa). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящуюся к δ-функции.

Введена английским физиком Дираком.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Содержание

Определение

δ-функция с областью определения \mathbb R^n определяется формальным соотношением

(\delta;f)=\int\limits_{\mathbb R^n}\delta(\vec{x}-\vec{a})f(\vec{x})\,d^n x = f(\vec{a})

для любой непрерывной функции f(\vec{x}).

В частности, для одномерной дельта-функции (то есть дельта-функции с областью определения {\mathbb R})

(\delta;f)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a)f(x)\, dx = f(a).

Альтернативное определение

Для дельта-функции одной вещественной переменной верны следующие равенства:

  • \delta(x) = 0,\qquad\forall x \not= 0;
  • \ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\, dx = 1.
  • аналогичные свойства верны и для дельта-функций, определённых на \mathbb{R}^n

Формально эти равенства не являются определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для решения физических задач.

Свойства

  • \delta(0) = +\infty
  • Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, содержащему в себе ноль, то есть интервалу вида ( − a1,a2), где a1 и a2 — произвольные действительные положительные числа, равен 1.
  • x\delta^\prime(x)=-\delta(x)
  • \delta(f(x)) = \sum_k \frac{\delta(x - x_k)}{|f'(x_k)|}, где xk — нули функции f(x).
 \eta(x) =
  \begin{cases} 0,           & x \leqslant 0
             \\ 1,           & x > 0
  \end{cases}

δ-функция как слабый предел

Пусть \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1.

Тогда последовательность

~f_n(x) = n f(n x),

в некотором смысле сходится (слабо сходится) к δ-функции.

График функции \scriptstyle{\sin x/x}

Часто, в качестве ~f(x) выбирают

f(x) = {\sin x \over \pi x},

дающую последовательность

f_n(x) = {n}{\sin (n x) \over n{\pi} x}.

Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола :

f(x) = \frac1{\sqrt{\pi}}e^{-x^2},
f_n(x) = \frac{n}{\sqrt{\pi}} e^{-(n x)^2}.

Интегральное представление

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

\delta(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t}\, d\omega.

Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции δ(x):

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^\prime(x-a)\,dx=-f^\prime(a);

(распространение на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию, интегрирования по частям).

Аналогично для n-ой производной дельта-функции:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx
= -\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x-a)\,dx.

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx = \left.(-1)^{n} \frac{\partial^{n} f(x)}{\partial x^{n}}\right|_{x=a}.


Подставив же в первую формулу f(x) = xg(x) и a = 0, убедимся, что

x\delta^\prime(x)=-\delta(x).

Для производной дельта-функции также верны следующие тождества:

\delta^\prime(-x)=-\delta^\prime(x);
\int\limits_{-1}^{1}\delta\left(\frac{1}{x}\right)\,dx=0.

Преобразование Фурье

  • В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду f(t) =
\int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{i \omega t}\, d\omega .
  • Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

\frac{1}{2 \pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \cdot e^{-i \omega t}\,dt
= \frac{1}{2 \pi} e^{-i \omega \cdot 0} = \frac{1}{2 \pi},

в результате получается, что спектр (фурье-образ) δ-функции является просто константой:

~F(\delta)=1/2\pi.

То есть, как и было показано выше,

\delta(t) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2\pi} e^{i\omega t}\, d\omega.

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

\int \delta^n (x_1, x_2, \ldots , x_n)\, d^n x = 1;
\delta^n (x_1, x_2, \ldots, x_n)=\delta(x_1)\delta(x_2)\ldots\delta(x_n).

В двумерном пространстве:

\iint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{2}(x,y)\,dxdy=1;
\delta(ax,by)=\frac{1}{\left|ab\right|}\delta^{2}(x,y);
δ2(x,y) = δ(x)δ(y).

В полярных координатах:

\delta^{2}(r,\varphi)=\frac{\delta(r)}{\pi\left|r\right|} — несмещенная относительно начала координат (с особенностью при r = 0),
\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)}{|r|} — с особенностью в точке общего положения (r_0,\varphi_0); при r = 0 доопределяется нулем.

В трехмерном пространстве:

\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta^{3}(x,y,z)\,dxdydz=1;
δ3(x,y,z) = δ(x)δ(y)δ(z);

В цилиндрической системе координат:

\delta^{3}(r,\theta,z)=\frac{\delta(r)\delta(z)}{\pi r} — несмещенная относительно начала координат (с особенностью при r = 0,z = 0),
\frac{\delta(r-r_0)\delta(\varphi-\varphi_0)\delta(z-z_0)}{|r|} — с особенностью в точке общего положения (r_0,\varphi_0,z_0); при r = 0 доопределяется нулем.

В сферической системе координат:

\delta^{3}(r,\theta,\varphi)=\frac{\delta(r)}{2\pi r^2} — несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r = 0).

Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение

Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

a(t)=\nu\delta(t-t_a).\

Масса материальной точки

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда)  m = \int \rho_{contin}, содержащего кроме того точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:

 m = \int \rho_{contin}(\mathbf{x})\, dV + \sum_i q_i

записывать просто:

 m = \int \rho(\mathbf{x})\, dV

имея в виду, что  \rho(\mathbf{x}) имеет как непрерывную, так и дельтообразные (по одной для каждой точечной массы) составляющие:

 \rho (\mathbf{x}) = \rho_{contin}(\mathbf{x}) + \sum_i q_i \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i).

Другие примеры

  • Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе (\hbar \rightarrow 0) квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтаобразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.
  • Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.
  • Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.
  • Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M, уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в точке x0, имеет вид
 L\ g(x,x_0)= \delta (x-x_0)\ .
Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как оператор Даламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).
\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta(r),
где r — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:
\Phi(\mathbf{x})= - \int{\varrho(\mathbf{x}^\prime)\over\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^\prime\right|}\, d^3x^\prime
удовлетворяет уравнению Пуассона:
\nabla^2\Phi=4\pi\varrho

Литература

  • Дирак П. А. М. Основы квантовой механики, пер. с англ., — М., 1932 (есть много переизданий).

Ссылки

  • Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа, том 2, — ISBN 5-9221-0185-4
  • Weisstein, Eric W. Delta Function на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Дельта-функция Дирака" в других словарях:

  • дельта-функция Дирака — единичный импульс — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность Синонимы единичный импульс EN Dirac functiondelta function …   Справочник технического переводчика

  • дельта-функция Дирака — delta funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta function; Dirac delta function vok. Delta Funktion, f; Diracsche Delta Funktion, f rus. дельта функция, f; дельта функция Дирака, f pranc. fonction impulsion unité, f; fonction… …   Fizikos terminų žodynas

  • дельта-функция — delta funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. delta function; Dirac delta function vok. Delta Funktion, f; Diracsche Delta Funktion, f rus. дельта функция, f; дельта функция Дирака, f pranc. fonction impulsion unité, f; fonction… …   Fizikos terminų žodynas

  • ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ — ? функция Дирака, символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (нагрузка, заряд и т. п.). Дельта функция простейшая обобщенная функция; она характеризует, напр., плотность распределения… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Дельта-функция — У этого термина существуют и другие значения, см. Дельта (значения). Схематический график одномерной дельта функции. Дельта функция (или …   Википедия

  • Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… …   Википедия

  • Дельта функция — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… …   Википедия

  • дельта-функция — (Δ функция Дирака), символ, применяемый в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины (нагрузка, заряд и т. п.). Дельта функция  простейшая обобщённая функция; она характеризует, например, плотность… …   Энциклопедический словарь

  • ДИРАКА ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ — см. Дельта функция …   Математическая энциклопедия

  • ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ — d функция , d функция Дирака, d(х), функция, позволяющая записать пространственную плотность физич. величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке апространства Rn. Напр., плотность… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»