Квазиклассическое приближение

Квазиклассическое приближение, также известное как метод ВКБ (Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна) — самый известный пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Этот метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х.А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили этот метод в 1926 году независимо друг от друга. В 1923, математик Гарольд Джеффри развил общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, и Вентцель, и Крамерс, и Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу.

Вывод

Начиная с одномерного стационарного уравнения Шрёдингера:

$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) + V(x) \Psi(x) = E \Psi(x)$

которое можно переписать в виде

$\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \Psi(x)$

мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции Φ

$\Psi(x) = e^{\Phi(x)}$

Φ должна удовлетворять уравнению

$\Phi''(x) + \left[\Phi'(x)\right]^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)$

где Φ' означает производную от Φ по x. Разделим $\Phi'(x)$ на действительную и мнимую части вводя действительные функции A и B:

$\Phi'(x) = A(x) + i B(x)$

Тогда амплитуда волновой функции $e^{\int^x A(x')dx'}\,\!$, а фаза — ${\int^x B(x')dx'}\,\!$. Из уравнения Шрёдингера следуют два уравнения которым должны удовлетворять эти функции:

$A'(x) + A(x)^2 - B(x)^2 = \frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right) \;$

$B'(x) + 2 A(x) B(x) = 0. \;$

Мы хотим рассмотреть квазиклассическое приближение, чтобы решить эти уравнения. Это означает, что мы разложим каждую функцию как ряд по степеням $\hbar$. Из уравнений мы можем видеть, что степенной ряд должен начинаться со слагаемого $\hbar ^ {-1}$, чтобы удовлетворить реальной части уравнения. Но поскольку нам нужен хороший классический предел, мы также хотим начать разложение со столь высокой степени постоянной Планка насколько это возможно.

$A(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i A_i(x)$

$B(x) = \frac{1}{\hbar} \sum_{i=0}^\infty \hbar^i B_i(x)$

С точностью до первого порядка разложения уравнения запишутся в виде

$A_0(x)^2 - B_0(x)^2 = 2m \left( V(x) - E \right)$

$A_0(x) B_0(x) = 0$

Если амплитуда меняется слабее, чем фаза, то можно положить $A_0(x) = 0$ и получить

$B_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( E - V(x) \right) }$

Это верно, только если полная энергия больше потенциальной энергии. После аналогичных вычислений для следующего порядка малости получим

$\Psi(x) \approx C \frac{ e^{i \int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)} + \theta} }{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( E - V(x) \right)}}$

С другой стороны, если фаза меняется медленно по сравнению с амплитудой мы положим $B_0(x) = 0$ и получим

$A_0(x) = \pm \sqrt{ 2m \left( V(x) - E \right) }$

Это верно если потенциальная энергия больше полной. Для следующего порядка малости получим

$\Psi(x) \approx \frac{ C_{+} e^{+\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}} + C_{-} e^{-\int dx \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}}{\sqrt[4]{\frac{2m}{\hbar^2} \left( V(x) - E \right)}}$

Это очевидно, что из-за знаменателя, оба из этих приближённых решений расходятся около классической точки поворота, где $E = V (x)$ и не может быть правильной. Мы имеем приблизительные решения далеко от потенциального барьера и ниже потенциального холма. Далеко от потенциального барьера, частицы ведут себя подобно свободной волне - фаза осциллирует. Ниже потенциального барьера, частица подвергается экспоненциальным изменениям в амплитуде.

Чтобы полностью решить задачу, мы должны найти приблизительные решения всюду и приравнять коэффициенты, чтобы сделать глобальное приблизительное решение. Мы должны всё же приблизить решение около классических точек поворота

Обозначим классическую точку поворота $x_1$. Вблизи $E=V(x_1)$, можно разложить $\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right)$ в ряд.

$\frac{2m}{\hbar^2}\left(V(x)-E\right) = U_1 (x - x_1) + U_2 (x - x_1)^2 + \cdots$

Для первого порядка получим

$\frac{d^2}{dx^2} \Psi(x) = U_1 (x - x_1) \Psi(x)$

Решение его вблизи точек поворота выглядит следующим образом

$\Psi(x) = \sqrt{x - x_1} \left( C_{+\frac{1}{3}} J_{+\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) + C_{-\frac{1}{3}} J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}\sqrt{U_1}(x - x_1)^{\frac{1}{3}}\right) \right)$

Используя асимптотики данного решения можно найти отношения между $C,\theta$ и $C_{+},C_{-}$:

$C_{+} = \frac{1}{2} C \cos{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}$

$C_{-} = - C \sin{\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)}$

Что завершает построение глобального решения.

Литература

• В.Л. Покровский. Квазиклассическое приближение. // Физическая энциклопедия. — Т. 2. — М.: СЭ, 1990. — С. 252-255.
• ВКБ-метод. // Физическая энциклопедия. — Т. 1. — М.: СЭ, 1988. — С. 285.
• H. Фрёман, П. У. Фрёман. ВКБ-приближение. — M., 1967.
• В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. — М., 1976.