Уравнение Пуассона

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

• электростатическое поле,
• стационарное поле температуры,
• поле давления,
• поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: $\Delta \varphi = f,$

где $\Delta$ — оператор Лапласа или лапласиан, а $f$ — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

$\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме $\nabla^2$ и уравнение Пуассона принимает вид:

${\nabla}^2 \varphi = f.$

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

$\Delta \varphi = 0.$

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \varepsilon_0},$

где $\Phi \!$ — электростатический потенциал (в вольтах), $\rho \!$ — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а $\varepsilon_0 \!$ — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

${\nabla}^2 \Phi = - {4 \pi \rho}$

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

$\rho = 0, \,$

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

$\Phi_q = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r }$

- то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

$\Phi_1 (x,y,z) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r }$

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

$\Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\$

где $\delta(x)$ - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

$\Phi (x,y,z) = \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta =$

$= \int { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } { \rho(\xi,\eta,\zeta) \over \sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.$

• Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
• Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов $\rho dV$.

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда $\rho(r)$:

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},$

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 }$

даётся:

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением ${\nabla}^2 \Phi$. Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда ${ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r}$, как и можно было ожидать.

См. также

• Дискретное уравнение Пуассона
• Экранированное уравнение Пуассона

Ссылки

• Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9