- Целая часть
-
В математике, целая часть вещественного числа
— округление
до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление
до ближайшего целого в большую сторону.
Содержание
Обозначения и примеры
Для целой части числа
долгое время использовалось обозначение
, введенное Гауссом . Ни понятия функции потолок, ни специального обозначения для нее не существовало. В 1962 году Кеннет Айверсон предложил округления числа
до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок»
и обозначать
и
соответственно [1].
В современной математике используются оба обозначения,
и
, однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[1]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением
, однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:
См. также: ОкруглениеОпределения
Функция пол
определяется как наибольшее целое, меньшее или равное
:
Функция потолок
определяется как наименьшее целое, большее или равное
:
Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число) [2]:
Свойства
Везде ниже
обозначают вещественные числа, а
— целые.
Пол/потолок как функции вещественной переменной
Функции пол/потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
Пол/потолок — кусочно-постоянные функции.
Функции пол/потолок имеют разрывны во всех целочисленных точках, это разрывы первого рода со скачком, равным единице.
При этом, функция пол является:
Функция потолок является:
Связь функций пола и потолка
Для произвольного
[3]
Для целого
пол и потолок совпадают:
Если
— не целое, то потолок ровно на единицу выше пола:
Функции пола и потолка являются отражениями друг друга от обеих осей:
Пол/потолок: неравенства
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [2]:
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.
Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:
Пол/потолок: сложение
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [4]:
Предыдущее равенство, вообще говоря, не выполняется, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
Пол/потолок под знаком функции
Имеет место следующее предложение:[5]
Пусть
— непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:
Тогда
всякий раз, когда определены
.
В частности,
если
и
— целые числа, и
.
Пол/потолок: суммы
Если
— целые числа,
, то [6]
Вообще, если
— произвольное вещественное число, а
— целое положительное, то
Имеет место более общее соотношение [7]:
Так как правая часть этого равенства симметрична относительно
и
, то справедлив следующий закон взаимности:
Разложимость в ряд
Тривиальным образом функция Антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные "ступеньки" функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к "упрощённому" ряду
который расходится.
Применение
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Количество цифр в записи числа
Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [8]
Округление
Ближайшее к
целое число может быть определено по формуле
Бинарная операция mod
Операция «остаток по модулю», обозначаемая
, может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если
— произвольные вещественные числа, и
, то неполное частное от деления
на
равно
,
а остаток
Дробная часть
Дробная часть вещественного числа
по определению равна
Количество целых точек промежутка
Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами
и
, то есть количество целых чисел
, удовлетворяющий неравенству
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
.
Это есть точек в замкнутом промежутке с концами
и
, равное
.
Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [9].
(Через
обозначена мощность множества
).
Первые три результата справедливы при всех
, а четвертый — только при
.
Теорема Рэлея о спектре
Пусть
и
— положительные иррациональные числа, связанные соотношением [10]
Тогда в ряду чисел
каждое натуральное
встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности
и
,
называемые последовательностями Бетти (англ.), образуют разбиение натурального ряда.[11]
В информатике
В языках программирования
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().
В системах вёрстки
В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка
,
,
,
существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.
Примечания
- ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
- ↑ 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
- ↑ Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
- ↑ А. Баабабов «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.
См. также
Литература
- Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3
- М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.
Категории:- Функции
- Теория чисел
- Дискретная математика
Wikimedia Foundation. 2010.