Остаток от деления

Остаток от деления

Остаток от деления в арифметике  — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.

Содержание

Натуральные числа

Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,

если a,b\in \mathbb{N}, b\ne 0, то ~a = p b+q, где 0\leqslant q<b, то есть ~a при делении на ~b даёт (неполное) частное ~p и остаток ~q.

Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:

q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b.
Примеры
  • При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально 7:2 = 3, остаток 1), так как 7=3*2 + 1
  • При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально 56 : 7 = 8, остаток 0), так как  56=7*8 + 0
  • При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально 13 : 10 = 1, остаток 3), так как  13=10*1 + 3

Обобщения

Целые числа

Формула

q = a - \lfloor a/b \rfloor\cdot b

даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение a = p b+q и неравенство 0\leqslant q<|b|.

Вещественные числа

Если два числа a и b (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a может быть поделено на b без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,b\in \mathbb{R}, b\ne 0, то ~a = p b+q, где 0\leqslant q< |b|

Пример:

~ 7{,}9 : 2{,}1 = 3 (остаток 1,6)

Многочлены

При делении двух полиномов f(x) и g(x) степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:

f(x) = q(x) g(x) + r(x) \quad, причём \quad \deg(r) < \deg(g).
Пример
2x^2 + 4x + 5 =(2x + 2)(x + 1) + 3 (здесь остатком является свободный член)

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Остаток от деления" в других словарях:

  • остаток (от деления) — — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN remainder …   Справочник технического переводчика

  • остаток целочисленного деления — модуль — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы модуль EN modulo …   Справочник технического переводчика

  • Остаток — Остаток: В математике: Остаток от деления  число, образующееся при делении с остатком. Остаток ряда  ряд, полученный отбрасыванием n первых членов от исходного ряда. В астрономии: Остаток сверхновой газопылевое образование, результат… …   Википедия

  • БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Рn(х) степени п на двучлен х b, где b число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу в 1779 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Контрольное число — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей …   Википедия

  • Контрольная цифра — Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной суммы, добавляется (обычно в конец) длинных номеров с целью первичной проверки их правильности. Применяется с целью уменьшения вероятности ошибки при обработке таких номеров: машинном …   Википедия

  • Контрольное число — Эта статья требует доработки. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её. Надо разнести практическую информацию по соответствующим статьям. stas® 01:53, 14 сентября 2009 (MSD) Контрольное число, контрольная цифра разновидность контрольной су …   Бухгалтерская энциклопедия

  • Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Своего рода «универсальный признак делимости». Содержание 1 Общий вид 2 Доказательство 3 О …   Википедия

  • Пасхалия — собрание правил, на основании которых вычисляется день празднования Пасхи. На основании предписаний, изложенных в книге Исход, а также лунно солнечного календаря, окончательно принятого евреями в эпоху второго храма, еврейская Пасха празднуется… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»