- Остаток от деления
-
Остаток от деления в арифметике — один из результатов операции деления с остатком. Образуется, если результат деления не может быть выражен целым числом, при этом остаток от деления должен быть по абсолютной величине меньше делителя. В случае, если числа делятся друг на друга без остатка, или нацело, то считают, что остаток равен нулю. Термин применяется также при делении многочленов.
Содержание
Натуральные числа
Остатком называется неотрицательное число, которое в сумме с произведением неполного частного и делителя даёт делимое. То есть,
- если
, то
, где
, то есть
при делении на
даёт (неполное) частное
и остаток
.
Остаток от деления a на b можно явно выразить через функцию «пол»:
- Примеры
- При делении 7 на 2, неполным частным является 3, а остатком 1 (формально
, остаток 1), так как
- При делении 56 на 7, частным является 8, а остатком 0 (формально
, остаток 0), так как
- При делении 13 на 10, неполным частным является 1, а остатком 3 (формально
, остаток 3), так как
Обобщения
Целые числа
Формула
даёт обобщение понятия остатка на случай деления целого числа a на целое число b. При этом выполняется соотношение
и неравенство
.
Вещественные числа
Если два числа
и
(отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел,
может быть поделено на
без остатка, при этом частное является также вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.
Формально:
- если
, то
, где
Пример:
(остаток 1,6)
Многочлены
При делении двух полиномов
и
степень остаточного полинома должна быть строго меньше степени делителя:
, причём
- Пример
(здесь остатком является свободный член)
См. также
Категория:- Деление
- если
Wikimedia Foundation. 2010.