Внутренняя производная

Внутренняя производная

Дифференциа́льная фо́рма порядка k или k-форма — кососимметрическое тензорное поле типа (0,\;k) на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k-форм на многообразии M обычно обозначают Ωk(M).

Содержание

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение k-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

k-формой на \mathbb{R}^n будем называть выражение следующего вида

\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}

где f_{i_1i_2\ldots i_k} — гладкие функции, dxi — дифференциал i-ой координаты xi (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i ), а \wedge — внешнее произведение. При смене координат, это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

  • Для k-формы ωk, её внешний дифференциал это (k + 1)-форма
  • d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
  • Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешняя производная равна 0.
  • k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой (k-1)-формы.
  • Факторгруппа H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} замкнутых k-форм по точным k-формам называется k-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
  • Внутренней производной формы ω по векторному полю \mathbf{v} называется форма
i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)

Свойства

  • В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
    \omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}
где dxiдифференциал i-ой координаты xj, а \wedgeвнешнее произведение.
  • Дифференциальную форму можно рассматривать как поле полилинейных кососимметрических функций от k векторов.
  • Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
    \ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)
  • Для любой формы справедливо d(dω) = 0.
  • теорема Стокса — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
  • Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница. Оно связано с внешним дифференцированием и производной Ли формулой гомотопии:
    d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}

Примеры

  • С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке p многообразия M и отображающий элементы касательного пространства Tp(M) в множество вещественных чисел \R:
    \omega(p): T_p (M)\rightarrow \R
  • Форма объёма — пример n-формы на n-мерном многообразии.
  • Симплектическая форма — замкнутая 2-форма ω на 2n-многообразии, такая что \omega^n\not=0.

Применения

Векторный анализ

Основная статья: Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть Iканонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и σ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M. Тогда ротор и дивергенцию для полей на \R^3 можно представить как

\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)
\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}
\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма * \mathbf{F} также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

Основная статья: Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой ω и функцией H, называемой функцией Гамильтона. ω задаёт в каждой точке X \in M изоморфизм I касательного TXM и кокасательного T^{*}_{X}M пространств по правилу

dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M,

где dH — 1-форма дифференциала функции H. Векторное поле IdH на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F,G] = ω(IdF,IdG)

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на M со значениями в векторном расслоении \pi\colon E \to M определяются как сечения тензорного произведения расслоений

\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение TM.

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  • Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
  • Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  • Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Внутренняя производная" в других словарях:

  • Производная (обобщения) — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные …   Википедия

  • Производная (обобщение) — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия

  • внутренняя энергия — ▲ энергия ↑ материальное тело, в соответствии с, состояние, внутренний температура внутренняя эн …   Идеографический словарь русского языка

  • Внутренняя энергия —         энергия тела, зависящая только от его внутреннего состояния. Понятие В. э. объединяет все виды энергии тела, за исключением энергии его движения как целого и потенциальной энергии, которой тело может обладать, если оно находится в поле… …   Большая советская энциклопедия

  • ВНУТРЕННЯЯ ЭНЕРГИЯ — термодинамич. ф ция состояния системы, ее энергия, определяемая внутр. состоянием. В. э. складывается в осн. из кинетич. энергии движения частиц (атомов, молекул, ионов, электронов) и энергии взаимод. между ними (внутри и межмолекулярной). На В.… …   Химическая энциклопедия

  • Односторонняя производная — В математике существует много различных обобщений понятия производной, так как она является базовой конструкцией дифференциального исчисления. Содержание 1 Односторонние производные 2 Анализ функций нескольких переменных …   Википедия

  • ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — произвoдная Вольтерра, одно из первых понятий производной в бесконечномерном пространстве. Пусть I(у) нек рый функционал от непрерывной функции одного переменного у(х); х0 нек рая внутренняя точка отрезка [х 1, х2]; где вариация отлична от нуля в …   Математическая энциклопедия

  • Дифференциальная алгебра — Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием  унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля  поле рациональных… …   Википедия

  • Дифференцирование алгебры Ли — В математике дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием  унарной операцией, удовлетворяющей правилу Лейбница. Естественный пример дифференциального поля  поле рациональных… …   Википедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»