Дуальность Ходжа

Звезда́ Хо́джа — важный линейный оператор из пространства p-векторов в пространство n-p-форм. Метрический тензор задаёт канонический изоморфизм между пространствами p-форм и p-векторов, поэтому обычно звездой Ходжа называют оператор из пространства дифференциальных форм размерности q в пространство форм размерности n-q.

$*\colon \Lambda^q(T^*M) \to \Lambda^{n-q}(T^*M)$

Этот оператор был введён Вильямом Ходжем.

Определение

Вспомогательные определения

Определим форму объёма

$\Omega=f(X)dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}$

$\Omega_{M_1\ldots M_n}=f(X)\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$

где $f(X):M\to \mathbb{R}$ - неотрицательный скаляр на многообразии M, а $\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$ - полностью антисимметричный символ. $\varepsilon_{0\ldots n-1}=+1$. Даже в отсутствие метрики при f(X)>0 можно определить контравариантые компоненты формы объёма.

$\check{\Omega}=\frac{1}{f(X)}\frac{\partial}{\partial{X^0}}\wedge\cdots\wedge\frac{\partial}{\partial{}{x^{n-1}}}$

$\check{\Omega}^{M_1\ldots M_n}=f^{-1}(X)\varepsilon^{M_1\ldots M_n}$

здесь антисимметричный символ $\varepsilon^{M_1\ldots M_n}$ совпадает $\varepsilon_{M_1\ldots M_n}$.

В присутствии метрики Ω с поднятыми индексами может отличаться от $\check{\Omega}$ на знак: $\Omega=\sigma\check{\Omega}$. Здесь и далее σ = sgndet(g_mk)

Введём операцию антисимметризации:

$A_{[m_1\ldots m_q]}=\frac{1}{q!}\sum_{\sigma(m_1\ldots m_q)}(-1)^{\sgn(m_1\ldots m_q)}A_{\sigma(m_1\ldots m_q)}$. Суммирование ведётся по всем перестановкам $\sigma(m_1\ldots m_q)$ индексов, заключённых в квадратные скобки, с учётом их чётности sgn(σ). Аналогично определяется антисимметризация верхних индексов; антисимметризовать можно только по группе индексов одного типа. Примеры: $A_{k[lm]}=\frac{1}{2!}(A_{klm}-A_{kml})$; $A_k^{[l}B_p^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^l B_p^m - A_k^m B_p^l)$.

Определим теперь тензоры:

$(A,B)^{(k)}_{M_{k+1}\ldots M_q}{}^{N_{k+1}\ldots N_p}=A_{[ K_1\ldots K_k] M_{k+1}\ldots M_q}{}^{[ K_1\ldots K_k ] N_{k+1}\ldots N_p}$

$(A,B)^{\underline{(k)}}_{M_1\ldots M_{q-k}}{}^{N_1\ldots N_{p-k}}=A_{M_1\ldots M_{q-k}[ K_1\ldots K_k ]}{}^{N_1\ldots N_{p-k}[ K_1\ldots K_k ]}$

Индекс (k) указывает число индексов, по которым проводилась свёртка. Там где это не может привести к неоднозначности, (k) будет опускаться. Вышеприведённые тензоры могут отличаться (а могут и не отличаться) только на знак.

Общее определение звезды Ходжа

Используя форму объёма Ω и поливектор $\check{\Omega}$ можно ввести операцию * , превращающую поливектор B степени p в дифференциальную форму * B степени n − p, и обратную операцию * ^{− 1}, превращающую форму A степени q в поливектор * ^{− 1}A степени n − q

* B = (Ω,B)^(p)

$*^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{\underline{(q)}}$

Эта операция называется звездой Ходжа или дуальностью Ходжа. В компонентах она выглядит следующим образом:

$(*B)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{f(X)}{q!}B^{m_1\ldots m_q}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}$

Поскольку * ^{− 1} * B = B и * * ^{− 1}A = A, то мы установили взаимно-однозначное соответствие между дифференциальными формами степени q и поливекторами степени n-q

Помимо операторов * и * ^{− 1} введём пару операторов: $\check{*}$ и $\check{*}^{-1}$, отличающихся от них знаком.

$\check{*}B=(\Omega,B)^{\underline{(p)}}$

$\check{*}^{-1}A=(A,\check{\Omega})^{(q)}$

Звезда Ходжа в присутствии метрики

Пусть на нашем многообразии размерности n задана метрика g_mk. Обозначим g = det(g_mk).

Элементом объёма или формой объёма порождённой метрикой g_mk называется форма $\Omega=\sqrt{|g|}dX^0\wedge\ldots\wedge dX^{n-1}=\sqrt{|g|}d^n X$ В компонентах:

$\Omega_{m_1\ldots m_n}=\sqrt{|g|}\varepsilon_{m_1\ldots m_n}$

$\Omega^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sqrt{|g|}}{g}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}=\frac{\sgn(g)}{\sqrt{|g|}}\varepsilon^{m_1\ldots m_n}$

Поскольку у нас есть метрика, мы можем устроить канонический изоморфизм между поливекторами и дифференциальными формами:

$A_{m_1\ldots m_n}=A^{l_1\ldots l_n}g_{m_1 l_1}\cdots g_{m_n l_n}$

Поэтому мы можем установить взаимно-однозначное соответствие между q-формами и (n-q)-формами. $(*A)_{m_{q+1}\ldots m_n}=\frac{1}{q!}\Omega_{m_1\ldots m_n}A_{l_1\ldots l_q}g^{m_1 l_1}\cdots g^{m_q l_q}$

Дополнительные операторы

Свойства звёздочки Ходжа

Источники

• Лекции М.Г.Иванова по курсу "Геометрические методы в классической теории поля". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html