- Внешняя алгебра
-
Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.
Содержание
Определение
Внешняя алгебра
векторного пространства
над полем
— ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком
, а порождающими элементами являются
, где
— базис пространства
. Определяющие соотношения имеют вид
;
.
Внешняя алгебра обычно обозначается
, она не зависит от выбора базиса.
Связанные определения
- Операция
называется внешним произведением.
- Подпространство
(для
) в
, порождённое элементами вида
, называется
-ой внешней степенью пространства
.
- Элемент
называется внешней формой степени k или внешней k-формой на V.
Свойства
- Имеют место равенства:
-
, в частности
при
.
- градуированная коммутативность:
, если
,
.
- Элементы пространства
называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над
, с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Линейно независимые системы из
векторов
и
из
порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда
-векторы
и
пропорциональны.
- Алгебра
имеет структуру градуированной алгебры:
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
См. также
Категории:- Линейная алгебра
- Дифференциальные формы
Wikimedia Foundation. 2010.