Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Общая формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии $M$ размерности $n$ заданы ориентируемое $p$-мерное подмногообразие $\sigma$ и дифференциальная форма $\omega$ степени $p-1$ класса $C^1$ ($1\leqslant p\leqslant n$). Тогда, если граница подмногообразия $\partial\sigma$ положительно ориентирована, то

$\int\limits_\sigma d\omega=\int\limits_{\partial\sigma}\omega,$

где $d\omega$ обозначает внешний дифференциал формы $\omega$.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия $M$.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая $l$, соединяющая две точки $a$ и $b$ (одномерная цепь) в многообразии произвольной размерности. Форма $\omega$ нулевой степени класса $C^1$ — это дифференцируемая функция $f$. Формула Стокса тогда записывается в виде

$\int\limits_l df=\int\limits_l f'\,dx=\int\limits_a^b f'\,dx=f(b)-f(a).$

Теорема Грина

Пусть $M$ — плоскость, а $D$ — некоторая её ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Форма первой степени, записанная в координатах $x$ и $y$ — это выражение $L\,dx+M\,dy$, и для интеграла этой формы по границе области $D$ верно

$\int\limits_{\partial D} L\,dx+M\,dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.$

Вывод из теоремы Стокса  

Определяя дифференциальную форму $\omega=L\,dx+M\,dy$, найдём её внешний дифференциал:

$d\omega=\left(\dfrac{\partial L}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial L}{\partial y}\,dy\right)\wedge dx+\left(\dfrac{\partial M}{\partial x}\,dx+\dfrac{\partial M}{\partial y}\,dy\right)\wedge dy.$

Принимая во внимание, что $dx\wedge dx=0$ и $dy\wedge dy=0$:

$d\omega=\underset{-\frac{\partial P}{\partial y}\,dx\,\wedge\,dy}{\underbrace{\dfrac{\partial P}{\partial y}\,dy\wedge dx}}+\dfrac{\partial Q}{\partial x}\,dx\wedge dy=\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy.$

Отсюда используя теорему Стокса:

$\int\limits_{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)\,dx\,dy.$

■

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Пусть $\Sigma$ — кусочно-гладкая поверхность ($p=2$) в трёхмерном евклидовом пространстве ($n=3$), $\mathbf{F}$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура $\partial\Sigma$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность $\Sigma$, ограниченную контуром:

$\int\limits_\Sigma\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\,d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_{\partial\Sigma}\mathbf{F}\,d\mathbf{r}$

или в координатной записи:

$\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$

Вывод из теоремы Стокса  

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega_F^1)=\omega_{\mathrm{rot}\,F}^2$:

$d\omega=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\wedge dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\wedge dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\wedge dy.$

Отсюда, используя теорему Стокса:

$\iint\limits_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dy\,dz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy=\int\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$

■

Доказательство с использованием формулы Грина  

Пусть $\bold r=\bold r(u(t),v(t))$. Тогда

$\iint _{\partial \Sigma} (\bold a, d \bold r) = \int _ \alpha ^ \beta ((\bold a (\bold r(u(t),v(t)))),r_u(u(t),v(t)) u'(t)+ r_v(u(t),v(t))v'(t)) dt = \int _ \Omega (a, r_u)du+(a,r_v)dv.$

Отсюда, используя формулу Грина, получаем $\int _ {\partial \Sigma} (\bold a, d \bold r) = \iint _ \Omega \left[\frac{\partial} {\partial u} {(\bold a, \bold r_v)} - \frac{\partial}{\partial v}{(\bold a, \bold r_u)} \right] du dv ={}$

${}=\iint _ \Omega \left( \frac{\partial \bold a}{\partial x} x_u + \frac{\partial \bold a}{\partial y} y_u + \frac{\partial \bold a}{\partial z} z_u, \bold r_v \right) du dv - \iint _ \Omega \left( \frac{\partial \bold a}{\partial x} x_v + \frac{\partial \bold a}{\partial y} y_v + \frac{\partial \bold a}{\partial z} z_v, \bold r_u \right) du dv$ ${}=\iint _ \Omega [(\bold r_v, (\bold r_u, \nabla), \bold a) - (\bold r_u, (\bold r_v, \nabla), \bold a) ] du dv,$ что по определению вихря и есть требуемая величина:

$\iint _ \Omega [(\bold r_v, (\bold {r_u}, \nabla), \bold a) - (\bold {r_u}, (\bold {r_v}, \nabla), \bold a) ] du dv =\iint _{\Omega} ({r_u}, {r_v}, \operatorname{rot}\; \bold a) du dv = \iint _ {\Sigma} (\operatorname{rot}\; \bold a, \bold n) dS.$ ■

Формула Остроградского

Пусть теперь $\partial V$ — кусочно-гладкая гиперповерхность ($p=n-1$), ограничивающая некоторую область $V$ в $n$-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области $\partial V$:

$\int\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\,d\mathbf{\Sigma}.$

Что эквивалентно записи:

$\int\limits_{\partial V}\mathbf{F}\,d\mathbf{\Sigma}=\int\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,d\mathbf{V}$

или

$\iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz.$

Вывод из теоремы Стокса  

Рассмотрим дифференциальную форму $\omega=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы $d(\omega_F^2)=\omega_{\mathrm{div}\,F}^3$:

$d\omega=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz.$

Отсюда, используя теорему Стокса:

$\iint\limits_{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint\limits_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\,dx\,dy\,dz.$

■

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальные геометрия и топология