- Уравнение четвёртой степени
-
Уравнение четвёртой степени — в математике алгебраическое уравнение вида:
Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении коэффициентов).
Так как является многочленом чётной степени, она имеет один и тот же предел при стремлении к плюс и к минус бесконечности. Если , то функция возрастает до плюс бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если , то функция убывает до минус бесконечности с обеих сторон, таким образом, функция имеет глобальный максимум
Содержание
Теорема Виета для уравнения четвертой степени
Корни уравнения четвертой степени связаны с коэффициентами следующим образом:
История
Уравнения четвёртой степени впервые были рассмотрены древнеиндийскими математиками между IV в. до н. э. и II в. н. э.
Лодовико Феррари приписывается получение решения уравнения четвёртой степени в 1540, но его работа опиралась на решение кубического уравнения, которого у него не было, поэтому сразу это решение не было опубликовано,[1] а было опубликовано только в 1545 вместе с решением кубического уравнения наставника Феррари — Джероламо Кардано в книге «Великое искусство»[2].
То, что это наибольшая степень уравнения, для которого можно указать общую формулу решения было доказано в теореме Абеля — Руффини в 1824. Записки, оставленные Галуа до смерти на дуэли, позже привели к элегантной теории корней многочленов, одним из результатов которой была эта теорема.[3]
Решения
Решение Декарта — Эйлера
В уравнение четвёртой степени:
Сделаем подстановку , получим уравнение в следующем виде (оно называется «неполным»):
где
Корни такого уравнения равны одному из следующих выражений:
в которых сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы выполнялось следующее соотношение:
причём — это корни кубического уравнения
Решение Феррари
Если уравнение 4-й степени вида , то решение может быть найдено по методу Феррари. Если — произвольный корень кубического уравнения
(2) (резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений
где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом.
См. также
- Легко решаемые типы уравнений 4 степени: Биквадратное уравнение, возвратное уравнение четвёртой степени
- Проблема уравнений 5-й и высших степеней
- Кубическое уравнение
Примечания
- ↑ Ferrari biography
- ↑ «Великое искусство» (Ars magna, 1545)
- ↑ Ян Стюарт, Теория Галуа, издание третье (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004) (англ.)
Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Наука, 2003. — 832 с. — 5000 экз. — ISBN 5-8114-0485-9
Ссылки
- Решение Феррари (англ.). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 27 сентября 2009.
Линейное уравнение · Квадратное уравнение · Кубическое уравнение · Уравнение четвёртой степени · Уравнение пятой степени · Уравнение шестой степени · Уравнение седьмой степени
Категория:- Алгебраические уравнения
Wikimedia Foundation. 2010.