- Теорема Безу
-
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена
на двучлен
равен
.
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).
Содержание
Доказательство
Поделим с остатком многочлен
на многочлен
:
Так как
, то
— многочлен степени не выше 0. Подставляя
, поскольку
, имеем
.
Следствия
- Число a является корнем многочлена
тогда и только тогда, когда
делится без остатка на двучлен
(отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена
тождественно множеству корней соответствующего уравнения
).
- Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
- Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.
Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Многочлены
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.