Эквивалентность массы и энергии

Эта статья включает описание термина «E=mc²»; см. также другие значения.

Формула на небоскрёбе Тайбэй 101 во время одного из мероприятий Всемирного года физики (2005)

Эквивале́нтность ма́ссы и эне́ргии — физическая концепция (в области теории относительности), согласно которой энергия физического объекта (физической системы) равна его (её) массе, умноженной на размерный множитель квадрата скорости света в вакууме:

$\ E = mc^2,$

где $E$ — энергия объекта, $m$ — его масса, $c$ — скорость света в вакууме, равная 299 792 458 м/с.

В зависимости от того, что понимается под терминами «масса» и «энергия», данная концепция может быть интерпретирована двояко:

• с одной стороны, концепция означает, что (инвариантная) масса тела (называемая также массой покоя^[1]) равна — с точностью до постоянного множителя $\! c^2$^[2] — энергии, «заключённой в нём», то есть его энергии, измеренной или вычисленной в сопутствующей системе отсчёта (системе отсчёта покоя), так называемой энергии покоя, или в широком смысле внутренней энергии этого тела^[3],

$E_0 = mc^2,$

где $E_0$ — энергия покоя тела, $m$ — его инвариантная масса;

• с другой стороны, можно утверждать, что любому виду энергии (не обязательно внутренней) физического объекта (не обязательно тела) соответствует некая масса; например, было введено понятие релятивистской массы, равной (с точностью до множителя $\! c^2$) полной (включая кинетическую) энергии движущегося объекта^[4],

$\ E = m_{rel}c^2,$

где $E$ — полная энергия объекта, $m_{rel}$ — его релятивистская масса.

Первая интерпретация не является лишь частным случаем второй. Хотя энергия покоя является частным случаем энергии, а $m$ практически равна $m_{rel}$ в случае нулевой или малой скорости движения тела, но $m$ имеет выходящее за рамки второй интерпретации физическое содержание: эта величина является скалярным (то есть выражаемым одним числом) инвариантным (неизменным при смене системы отсчёта) множителем в определении 4-вектора энергии-импульса, аналогичным ньютоновской массе и являющимся её прямым обобщением^[5], и к тому же $m$ является модулем 4-импульса. Дополнительно, именно $m$ (а не $m_{rel}$) является единственным скаляром, который не только характеризует инертные свойства тела при малых скоростях, но и через который эти свойства могут быть достаточно просто записаны для любой скорости движения тела^[6].

И таким образом, $m$ — инвариантная масса — физическая величина, имеющая самостоятельное и во многом более фундаментальное значение^[7].

В современной теоретической физике концепцию эквивалентности массы и энергии обычно используется в первом смысле^[8]. Главной причиной, почему приписывание массы любому виду энергии считается чисто терминологически неудачным и поэтому практически вышло из употребления в стандартной научной терминологии, является следующая из этого полная синонимичность понятий массы и энергии. Кроме того, неаккуратное использование такого подхода может запутывать^[9] и в конечном итоге оказывается неоправданным. Таким образом, в настоящее время термин «релятивистская масса» в профессиональной литературе практически не встречается, а когда говорится о массе, имеется в виду инвариантная масса. В то же время термин «релятивистская масса» используется для качественных рассуждений в прикладных вопросах, а также в образовательном процессе и в научно-популярной литературе. Этот термин подчёркивает увеличение инертных свойств движущегося тела вместе с его энергией, что само по себе вполне содержательно^[10].

В наиболее универсальной форме принцип был сформулирован впервые Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако представления о связи энергии и инертных свойств тела развивались и в более ранних работах других исследователей.

В современной культуре формула $E=mc^2$ является едва ли не самой известной из всех физических формул, что обуславливается её связью с устрашающей мощью атомного оружия. Кроме того, именно эта формула является символом теории относительности и широко используется популяризаторами науки^[11].

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся частицы, а также свободного тела и вообще любой замкнутой системы частиц, выполняются следующие соотношения^[12]:

$\ E^2 - \vec{p}^{\,2}c^2 = m^2c^4 \qquad \vec p = \frac{E\vec v}{c^2},$

где $E$, $\vec{p}$, $\vec{v}$, $m$ — энергия, импульс, скорость и инвариантная масса системы или частицы, соответственно, $c$ — скорость света в вакууме. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда в нуль обращаются скорость и импульс тела (массивного объекта), его энергия в нуль не обращается^[13], оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

$E_0 = mc^2.$

Эта величина носит название энергии покоя,^[14] и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. На основании этого факта Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии^[3] и что тем самым законы сохранения массы и энергии объединены в один закон сохранения^[15].

Энергия и импульс тела являются компонентами 4-вектора энергии-импульса (четырёхимпульса)^[16] (энергия — временной, импульс — пространственными) и соответствующим образом преобразуются при переходе из одной системы отсчёта в другую, а масса тела является лоренц-инвариантом, оставаясь при переходе в другие системы отсчёта постоянной, и имея смысл модуля вектора четырёхимпульса.

Следует также отметить, что несмотря на то, что энергия и импульс частиц аддитивны^[17], то есть для системы частиц имеем:

$\ E = \sum_i E_i \qquad \vec p = \sum_i \vec p_i$

(1)

масса частиц аддитивной не является,^[12] то есть масса системы частиц, в общем случае, не равна сумме масс составляющих её частиц.

Таким образом, энергия (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса) и масса (инвариантный, неаддитивный модуль четырёхимпульса) — это две разные физические величины.^[7]

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя означает, что в системе отсчёта, в которой свободное тело покоится (собственной), его энергия (с точностью до множителя $\! c^2$) равна его инвариантной массе.^[7][18]

Четырёхимпульс равен произведению инвариантной массы на четырёхскорость тела.

$p^\mu = m \, U^\mu\!,$

Это соотношение следует считать аналогом в специальной теории относительности классического определения импульса через массу и скорость.

Понятие релятивистской массы

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта^[4]:

$m_{\mathrm{rel}} = \frac{E}{c^2},$.

где $m_{\mathrm{rel}}$ — релятивистская масса, $E$ — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

$m_{\mathrm{rel}} = \frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},$

где $m$ — инвариантная («классическая») масса, $v$ — скорость тела.

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).^[7]

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя $\! c^2$) равна его релятивистской массе.^[7][19]

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела^[4]:

$\vec p = m_{\mathrm{rel}}\vec v.$

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения.^[20]

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы $\vec{F}$ и ускорения $\vec{a}=d\vec{v}/dt$ существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{m\vec{a}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+\frac{m\vec{v}\cdot(\vec{v}\vec{a})/c^2}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}.$

Если скорость перпендикулярна силе, то $\vec{F}=m\gamma\vec{a},$ а если параллельна, то $\vec{F}=m\gamma^3\vec{a},$ где $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ — релятивистский фактор. Поэтому $m\gamma=m_{\mathrm{rel}}$ называют поперечной массой, а $m\gamma^3$ — продольной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»^[8]:

• неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
• синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
• наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде

$m_{\mathrm{rel}}\frac{d\vec v}{dt}=\vec F;$

• методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
• путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной,^[21] и в научной литературе. Следует, правда, отметить, что в научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

Гравитационное взаимодействие

В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, и его величина определяется гравитационной массой тела^[22], которая с высокой степенью точности равна по величине инертной массе, о которой шла речь выше, что позволяет говорить о просто массе тела^[23].

В релятивистской физике гравитация подчиняется законам общей теории относительности, в основе которой лежит принцип эквивалентности, заключающийся в неотличимости явлений, происходящих локально в гравитационном поле, от аналогичных явлений в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением, равным ускорению свободного падения в гравитационном поле. Можно показать, что данный принцип эквивалентен утверждению о равенстве инертной и гравитационной масс^[24].

В общей теории относительности энергия играет ту же роль, что и гравитационная масса в классической теории. Действительно, величина гравитационного взаимодействия в этой теории определяется так называемым тензором энергии-импульса, являющимся обобщением понятия энергии^[25].

В простейшем случае точечной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле объекта, масса которого много больше массы частицы, сила, действующая на частицу, определяется выражением^[8]:

$\vec F = - GM\frac{E}{c^2}\frac{(1+\beta^2)\vec r - (\vec r\vec\beta)\vec\beta}{r^3}$

где G — гравитационная постоянная, M — масса тяжёлого объекта, E — полная энергия частицы, $\beta=v/c,$ v — скорость частицы, $\vec r$ — радиус-вектор, проведённый из центра тяжёлого объекта в точку нахождения частицы. Из этого выражения видна главная особенность гравитационного взаимодействия в релятивистском случае по сравнению с классической физикой: оно зависит не только от массы частицы, но и от величины и направления её скорости. Последнее обстоятельство, в частности, не позволяет ввести однозначным образом некую эффективную гравитационную релятивистскую массу, сводившую бы закон тяготения к классическому виду^[8].

Предельный случай безмассовой частицы

Важным предельным случаем является случай частицы, масса которой равна нулю. Примером такой частицы является фотон — частица-переносчик электромагнитного взаимодействия^[26]. Из приведённых выше формул следует, что для такой частицы справедливы следующие соотношения:

$E = pc, \qquad v = c.$

Таким образом, частица с нулевой массой вне зависимости от своей энергии всегда двигается со скоростью света. Для безмассовых частиц введение понятия «релятивистской массы» в особой степени не имеет смысла, поскольку, например, при наличии силы в продольном направлении скорость частицы постоянна, а ускорение, следовательно, равно нулю, что требует бесконечной по величине эффективной массы тела. В то же время, наличие поперечной силы приводит к изменению направления скорости, и, следовательно, «поперечная масса» фотона имеет конечную величину.

Аналогично бессмысленно для фотона вводить эффективную гравитационную массу. В случае центрально-симметричного поля, рассмотренного выше, для фотона, падающего вертикально вниз, она будет равна $E/c^2$, а для фотона, летящего перпендикулярно направлению на гравитационный центр, — $2E/c^2$^[8].

Практическое значение

Формула на палубе первого авианосца с ядерной силовой установкой USS Enterprise 31 июля 1964^[27]

Полученная А. Эйнштейном эквивалентность массы тела запасённой в теле энергии стала одним из главных практически важных результатов специальной теории относительности. Соотношение $E_0 = mc^2$ показало, что в веществе заложены огромные (благодаря квадрату скорости света) запасы энергии, которые могут быть использованы в энергетике и военных технологиях^[28].

Количественные соотношения между массой и энергией

В международной системе единиц СИ отношение энергии и массы E / m выражается в джоулях на килограмм, и оно численно равно квадрату значения скорости света c в метрах в секунду):

E / m = c² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0·10¹⁶ джоулей на килограмм).

Таким образом, 1 грамм массы эквивалентен следующим значениям энергии:

• 89,9 тераджоулей (89,9 ТДж)
• 25,0 миллионов киловатт-часов (25 ГВт·ч),
• 21,5 миллиардов килокалорий (≈21 Ткал),
• 21,5 килотонн в тротиловом эквиваленте (≈21 кт).

В ядерной физике часто применяется значение отношения энергии и массы, выраженное в мегаэлектронвольтах на атомную единицу массы — ≈931,494 МэВ/а.е.м.

Примеры взаимопревращения энергии покоя и кинетической энергии

Энергия покоя способна переходить в кинетическую энергию частиц в результате ядерных и химических реакций, если в них масса вещества, вступившего в реакцию, больше массы вещества, получившегося в результате. Примерами таких реакций являются^[8]:

• Аннигиляция пары частица-античастица с образованием двух фотонов. Например, при аннигиляции электрона и позитрона образуется два гамма-кванта, и энергия покоя пары полностью переходит в энергию фотонов:

$e^- + e^+ \rightarrow 2\gamma.$

• Термоядерная реакция синтеза атома гелия из протонов и электронов, в которой разность масс гелия и протонов преобразуется в кинетическую энергию гелия и энергию электронных нейтрино

$2e^- + 4p^+ \rightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\nu_e + E_\mathrm{kin}.$

• Реакция деления ядра урана-235 при столкновении с медленным нейтроном. При этом ядро делится на два осколка с меньшей суммарной массой с испусканием двух или трёх нейтронов и освобождением энергии порядка 200 МэВ, что составляет порядка 1 процента от массы атома урана. Пример такой реакции:

${}^{235}_{92}\mathrm{U} + {}^1_0 n \rarr {}^{93}_{36}\mathrm{Kr} + {}^{140}_{ 56}\mathrm{Ba} + 3~ {}^1_0 n.$

• Реакция горения метана:

$\mathrm{CH}_4 + 2\mathrm O_2 \rightarrow \mathrm{CO}_2 + 2\mathrm H_2\mathrm O.$

В этой реакции выделяется порядка 35,6 МДж тепловой энергии на кубический метр метана, что составляет порядка 10⁻¹⁰ от его энергии покоя. Таким образом, в химических реакциях преобразование энергии покоя в кинетическую энергию значительно ниже, чем в ядерных.

Важно отметить, что в практических применениях превращение энергии покоя в энергию излучения редко происходит со стопроцентной эффективностью. Теоретически совершенным превращением было бы столкновение материи с антиматерией, однако в большинстве случаев вместо излучения возникают побочные продукты и вследствие этого только очень малое количество энергии покоя превращается в энергию излучения.

Существуют также обратные процессы, увеличивающие энергию покоя, а следовательно и массу. Например, при нагревании тела увеличивается его внутренняя энергия, в результате чего возрастает масса тела. Другой пример — столкновение частиц. В подобных реакциях могут рождаться новые частицы, массы которых существенно больше, чем у исходных. «Источником» массы таких частиц является кинетическая энергия столкновения.

История и вопросы приоритета

Джозеф Джон Томсон первым попытался связать энергию и массу

Представление о массе, зависящей от скорости, и об имеющейся связи между массой и энергией начало формироваться ещё до появления специальной теории относительности. В частности, в попытках согласовать уравнения Максвелла с уравнениями классической механики некоторые идеи были выдвинуты в статьях Н. А. Умова, Дж. Дж. Томсона, О. Хевисайда, Р. Сирла, М. Абрагама, Х. Лоренца и А. Пуанкаре^[11]. Однако только у А. Эйнштейна эта зависимость универсальна, не связана с эфиром и не ограничена электродинамикой^[29].

Считается, что впервые попытка связать массу и энергию была предпринята в работе Дж. Дж. Томсона, появившейся в 1881 году^[8]. Томсон в своей работе вводит понятие электромагнитной массы, называя так вклад, вносимый в инертную массу заряженного тела электромагнитным полем, создаваемым этим телом^[30].

Идея наличия инерции у электромагнитного поля присутствует также и в работе О. Хевисайда, вышедшей в 1889 году^[31]. Обнаруженные в 1949 году черновики его рукописи указывают на то, что где-то в это же время, рассматривая задачу о поглощении и излучении света, он получает соотношение между массой и энергией тела в виде $E=mc^2$^[32][33].

В 1900 году А. Пуанкаре опубликовал работу, в которой пришёл к выводу, что свет как переносчик энергии должен иметь массу, определяемую выражением $E/v^2,$ где E — переносимая светом энергия, v — скорость переноса^[34].

Хендрик Антон Лоренц указывал на зависимость массы тела от его скорости

В работах М. Абрагама (1902 год) и Х. Лоренца (1904 год) было впервые установлено, что, вообще говоря, для движущегося тела нельзя ввести единый коэффициент пропорциональности между его ускорением и действующей на него силой. Ими были введены понятия продольной и поперечной масс, применяемые для описания динамики частицы, движущейся с околосветовой скоростью, с помощью второго закона Ньютона^[35][36]. Так, Лоренц в своей работе писал^[37]:

Следовательно, в процессах, при которых возникает ускорение в направлении движения, электрон ведёт себя так, как будто он имеет массу $m_1,$ а при ускорении в направлении, перпендикулярном к движению, как будто обладает массой $m_2.$ Величинам $m_1$ и $m_2$ поэтому удобно дать названия «продольной» и «поперечной» электромагнитных масс. Оригинальный текст  (англ.)   Hence, in phenomena in which there is an acceleration in the direction of motion, the electron behaves as if it had a mass $m_1$, those in which the acceleration is normal to the path, as if the mass were $m_2$. These quantities $m_1$ and $m_2$ may therefore properly be called the "longitudinal" and "transverse" electromagnetic masses of the electron

Экспериментально зависимость инертных свойств тел от их скорости была продемонстрирована в начале XX века в работах В. Кауфмана (1902 год)^[38] и А. Бухерера (англ.) (1908 год)^[39].

В 1904—1905 годах Ф. Газенорль (англ.) в своей работе приходит к выводу, что наличие в полости излучения проявляется в том числе и так, будто бы масса полости увеличилась^[40].

Альберт Эйнштейн сформулировал принцип эквивалентности энергии и массы в наиболее общем виде

В 1905 году появляется сразу целый ряд основополагающих работ А. Эйнштейна, в том числе и работа, посвящённая анализу зависимости инертных свойств тела от его энергии^[41]. В частности, при рассмотрении испускания массивным телом двух «количеств света» в этой работе впервые вводится понятие энергии покоящегося тела и делается следующий вывод^[42]:

Масса тела есть мера содержания энергии в этом теле; если энергия изменяется на величину L, то масса изменяется соответственно на величину L/9×1020, причём здесь энергия измеряется в эргах, а масса — в граммах… Если теория соответствует фактам, то излучение переносит инерцию между излучающими и поглощающими телами Оригинальный текст  (нем.)   Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um L, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um L/9×1020 wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird… Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern

В 1906 году Эйнштейн впервые говорит о том, что закон сохранения массы является всего лишь частным случаем закона сохранения энергии^[43].

В более полной мере принцип эквивалентности массы и энергии был сформулирован Эйнштейном в работе 1907 года^[44], в которой он пишет

…упрощающее предположение $\mu V^2 =$ε0 является одновременно выражением принципа эквивалентности массы и энергии… Оригинальный текст  (нем.)   …daß die vereinfachende Festsetzung $\mu V^2 =$ ε0 zugleich der Ausdruck des Prinzipes der Äquivalenz von Masse und Energie ist…

Под упрощающим предположением здесь имеется в виду выбор произвольной постоянной в выражении для энергии. В более подробной статье, вышедшей в том же году^[3], Эйнштейн замечает, что энергия является также и мерой гравитационного взаимодействия тел.

В 1911 году выходит работа Эйнштейна, посвящённая гравитационному воздействию массивных тел на свет^[45]. В этой работе им приписывается фотону инертная и гравитационная масса равная $E/c^2$ и для величины отклонения луча света в поле тяготения Солнца выводится значение 0,83 дуговой секунды, что в два раза меньше правильного значения, полученного им же позже на основе развитой общей теории относительности^[46]. Интересно, что то же самое половинное значение было получено И. фон Зольднером (англ.) ещё в 1804 году, но его работа осталась незамеченной^[47].

Экспериментально эквивалентность массы и энергии была впервые продемонстрирована в 1933 году. В Париже Ирен и Фредерик Жолио-Кюри сделали фотографию процесса превращения кванта света, несущего энергию, в две частицы, имеющих ненулевую массу. Приблизительно в то же время в Кембридже Джон Кокрофт и Эрнест Томас Синтон Уолтон наблюдали выделение энергии при делении атома на две части, суммарная масса которых оказалась меньше, чем масса исходного атома^[48].

Влияние на культуру

С момента открытия формула $E=mc^2$ стала одной из самых известных физических формул и является символом теории относительности. Несмотря на то, что исторически формула была впервые предложена не Альбертом Эйнштейном, сейчас она ассоциируется исключительно с его именем, например, именно эта формула была использована в качестве названия вышедшей в 2005 году телевизионной биографии известного учёного^[49]. Известности формулы способствовало широко использованное популяризаторами науки контринтуитивное заключение, что масса тела увеличивается с увеличением его скорости. Кроме того, с этой же формулой ассоциируется мощь атомной энергии^[11]. Так, в 1946 году журнал «Time» на обложке изобразил Эйнштейна на фоне гриба ядерного взрыва с формулой $E=mc^2$ на нём^[50][51].

• 

  Бюст Эйнштейна в австралийском Центре науки и техники Квестакон (англ.)

• 

  «Теория относительности», одна из шести скульптур в ансамбле англ.) в Берлине

• 

  Немецкая марка, выпущенная к столетию создания специальной теории относительности

См. также

• Энергия связи
• Дефект массы

Примечания

1. ↑ Поскольку эта масса инвариантна, её значение всегда совпадает с тем, которое может быть стандартным образом измерено в системе отсчёта, в которой тело «покоится» (то есть относительно которой скорость его в данный момент нулевая.
2. ↑ То есть с точностью до универсальной константы, которая может быть сделана просто равной единице подбором подходящей системы единиц измерения.
3. ↑ ^{1 2 3} Einstein A. Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen (нем.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 4. — P. 411—462.
   Einstein A. Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen» (нем.) // Jahrbuch der Radioaktivität. — 1907. — Vol. 5. — P. 98—99.
   русский перевод: Эйнштейн А. О принципе относительности и его следствиях // Теория относительности. Избранные работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — ISBN 5-93972-002-1.
4. ↑ ^{1 2 3} Паули В. §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гинзбург и В. П. Фролов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1991. — С. 166—169. — 328 с. — (Библиотека теоретической физики). — 17 700 экз. — ISBN 5-02-014346-4
5. ↑ Так же, как в нерелятивистской теории, масса входит как скалярный множитель в определение энергии и определение импульса.
6. ↑ Через $m_{rel}$ (и скорость) эти свойства, конечно, тоже можно записать, но гораздо менее компактно, симметрично и красиво; в другом же подходе приходится и вовсе вводить величины с несколькими компонентами, например, отличающиеся «продольную массу» и «поперечную массу».
7. ↑ ^{1 2 3 4 5} Угаров В. А. Глава 5.6. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
8. ↑ ^{1 2 3 4 5 6 7} Окунь Л. Б. Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // УФН. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
9. ↑ Главным образом путаница может возникать именно между массой в таком понимании и пониманием, ставшим стандартным, то есть инвариантной массой (за которой короткий термин закрепился как за величиной, имеющей самостоятельный смысл, а не просто как синоним энергии с отличием, быть может, только на постоянный коэффициент).
10. ↑ Поэтому в популярной литературе и вполне оправданно, так как там термин масса призван апеллировать к физической интуиции через использование знакомого классического понятия, хотя с формальной точки зрения, важной для профессиональной терминологии, он здесь и излишен.{{подст:АИ}}
11. ↑ ^{1 2 3} Окунь Л. Б. Формула Эйнштейна: E₀ = mc². «Не смеётся ли Господь Бог»? // УФН. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
12. ↑ ^{1 2} Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 47—48. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4
13. ↑ В нерелятивистской механике, строго говоря, энергия также не обязана обращаться в нуль, поскольку энергия определяется с точностью до произвольного слагаемого, однако никакого конкретного физического смысла это слагаемое не имеет, поэтому выбирается обычно так, чтобы энергия покоящегося тела была равна нулю.
14. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 46. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4
15. ↑ Бергман П. Г. Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133. — 381 с.
16. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 49. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4
17. ↑ Barut A. O. Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York: Dover Publications, 1980. — С. 58. — 235 с. — ISBN 0-486-64038-8
18. ↑ Угаров В. А. Глава 8.5. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
19. ↑ Угаров В. А. Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
20. ↑ Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — ISBN 978-5-397-00892-1
21. ↑ см. например Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — С. 671—673. — 768 с.
22. ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 302—308. — 520 с.
23. ↑ В. А. Фок Масса и энергия // УФН. — 1952. — В. 2. — Т. 48. — С. 161—165.
24. ↑ В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко Еще раз о принципе эквивалентности // УФН. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
25. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 349—361. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
26. ↑ И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь О массе фотона // УФН. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
27. ↑ USS Baindridge (DLGN/CGN 25). NavSource Online: Cruiser Photo Archive. NavSource Naval History. Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 27 сентября 2010.
28. ↑ Чернин А. Д. Формула Эйнштейна (рус.) // Трибуна УФН.
29. ↑ Пайс А. §7.2. Сентябрь 1905 г. О выражении $E=mc^2$ // Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М.: Наука, 1989. — С. 143—145. — 568 с. — 36 500 экз. — ISBN 5-02-014028-7
30. ↑ Thomson J. J. On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies (англ.) // Philosophical Magazine. — 1881. — Т. 11. — С. 229—249.
31. ↑ Heaviside O. On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric (англ.) // Philosophical Magazine. — 1889. — Т. 27. — С. 324—339.
32. ↑ Болотовский Б. М. Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 254 с.
33. ↑ Кларк А. XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М.: Связь, 1964. — 236 с. — 20 000 экз.
34. ↑ Poincaré H. La théorie de Lorentz et le principe de réaction (фр.) // Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles. — 1900. — Vol. 5. — P. 252—278.
35. ↑ Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons (нем.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 57—63.
    Abraham M. Prinzipien der Dynamik des Elektrons (нем.) // Ann. Phys.. — 1903. — Vol. 315. — P. 105—179.
36. ↑ Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light (англ.) // Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. — 1904. — Vol. 6. — P. 809—831.
37. ↑ Кудрявцев, 1971, с. 39
38. ↑ Kaufmann W. Die elektromagnetische Masse des Elektrons (нем.) // Phys. Z.. — 1902. — Vol. 4. — P. 54—57.
39. ↑ Bucherer A. H. On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham (англ.) // Philos. Mag.. — 1908. — Vol. 15. — P. 316—318.
    Bucherer A. H. Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie (нем.) // Phys. Z.. — 1908. — Vol. 9. — P. 755—762.
40. ↑ Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern (нем.) // Ann. Phys.. — 1904. — Vol. 15 [320]. — P. 344—370.
    Hasenöhrl F. Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung (нем.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 16 [321]. — P. 589—592.
41. ↑ Einstein A. Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (нем.) // Ann. Phys.. — 1905. — Vol. 18 [323]. — P. 639—641.
42. ↑ Кудрявцев, 1971, с. 51
43. ↑ Einstein A. Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie (нем.) // Ann. Phys.. — 1906. — Vol. 20. — P. 627–633.
44. ↑ Einstein A. Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie (нем.) // Ann. Phys.. — 1907. — Vol. 23 [328]. — P. 371—384.
45. ↑ Einstein A. Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes (нем.) // Ann. Phys.. — 1911. — Vol. 35 [340]. — P. 898—908.
46. ↑ Einstein A. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie (нем.) // Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte. — 1915. — Vol. 47. — № 2. — P. 831—839.
47. ↑ von Soldner J. Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht (нем.) // Astronomisches Jahrbuch für das Jahr. — 1804. — P. 161—172.
48. ↑ E=mc²  (англ.). The Center for History of Physics. Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 22 января 2011.
49. ↑ E=mc²  (англ.) на сайте Internet Movie Database
50. ↑ Friedman A. J., Donley C. C. Einstein as Myth and Muse. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. — С. 154—155. — 224 с. — ISBN 9780521267205
51. ↑ Albert Einstein  (рус.). Time magazine (1 июля 1946). Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 30 января 2011.

Литература

• Джеммер М. Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.

• Okun L. B. Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

• Кудрявцев П. С. Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

Ссылки

	Формула Эйнштейна на Викискладе?

• Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter  (англ.). Американский институт физики. — Аудиозапись лекции Альберта Эйнштейна, в которой он объясняет принцип эквивалентности массы и энергии. Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 19 августа 2010.
• The Antimatter Calculator  (англ.). Edward Muller's Homepage. — Калькулятор антиматерии. Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 31 января 2011.
• Страница рукописи Эйнштейна 1912 года с уравнением E=mc²  (англ.). Symmetry Magazine. Архивировано из первоисточника 25 января 2012. Проверено 31 января 2011.

Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии.