Слабая производная

«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («Сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства $L_1$), но не являющихся дифференцируемыми. Смотрите «распределение» для ещё более общего определения.

Определение

Пусть $u$ — функция из $L^1([a,b])$. Функцию $v(t)$ из $L^1([a,b])$ называют «слабой производной» $u$, если

$\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt$

для всех непрерывно дифференцируемых функций $\varphi$ при $\varphi(a)=\varphi(b)=0$. Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на $n$ измерений, если $u$ и $v$ принадлежат пространству $L_{loc}^1(U)$ локально интегрируемых функций для некоторой области $U \subset \mathbb{R}^n$, и если $\alpha$ — это мультииндекс, то $v$ называется слабой производной $u$ порядка $\alpha$, если

$\int_U u D^{\alpha} \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi$

для всех $\varphi \in C^{\infty}_c (U)$ — финитных в $U$ бесконечно гладких функций.

Если у функции $u$ есть слабая производная, то её часто обозначают через $D^{\alpha}u$, так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

Примеры

• Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:

$v \colon [-1,1]\to [-1,1] \colon t \mapsto v(t) = \begin{cases} 1, & t > 0; \\ 0, & t = 0; \\ -1, & t < 0. \end{cases}$

Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.

• Характеристическая функция множества рациональных чисел D (Функция Дирихле) нигде не дифференцируема, но слабую производную имеет всюду. Так как мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то

$\int D(t) \varphi(t) dt = 0$

Таким образом, $v(t)\equiv 0$ есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

Свойства

• Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах $L_p$, полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.

• Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

Развитие

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

Литература

• Михлин С.Г. Курс математической физики. — 2-е, стереотипное. — СПб: Лань, 2002. — 576 с. — ISBN 5-8114-0468-9
• Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1
• Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М: Наука, 1973. — 576 с.