ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА

ШТУРМА -ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА

-задача, порождённая на конечном или бесконечном интервале ( а, b) изменения переменной c ур-нием

и нек-рыми граничными условиями, где положительны, действительна, а-комплексный параметр. Начало глубокому изучению этой задачи положили Ш. Штурм (Ch. Sturm) и Ж. Лиувилль (J. Liouville). Понятия и методы, зародившиеся в процессе изучения Ш.- Л. з., сыграли большую роль в развитии MH. направлений математики и физики. Она была и остаётся пост, источником новых идей и задач для спектральной теории операторов и смежных вопросов анализа. Особое значение она приобрела после открытия связи с нек-рыми эволюционными нелинейными уравнениями математической физики.

Если P(X )дифференцируема, а р(х)r(х )дифференцируема дважды, то ур-ние (1) с помощью подстановок Лиувилля (см. [1 ]) сводится к виду

Принято различать регулярные и сингулярные задачи. Ш.-Л. з. для ур-ния (2) наз. регулярной, если интервал ( а, Ь )изменения переменной c конечен и если ф.-ция q(x )суммируема во всём интервале ( а, b). Если интервал ( а, b )бесконечен или q(x )несуммируема (или и то и другое), то задача наз. сингулярной.

Ниже рассматриваются в отдельности следующие случаи: 1) интервал (а, Ь )конечен, в этом случае, не нарушая общности, можно считать, что

1.Рассматривается задача, порождённая на сегменте ур-нием (2), в к-ром -действительная суммируемая на сегменте ф-ция- комплексный параметр), и разделёнными граничными условиями

где h и H -произвольные конечные или бесконечные фиксированные действительные числа. Если то первое (второе) условие в (3) заменяется условием у(0) = 0 . Для определённости далее предполагается, что числа, участвующие в граничных условиях, конечны.

Число наз. собств. значением задачи (2), (3). если при ур-ние (2) имеет нетривиальное решение удовлетворяющее граничным условиям (3); при этом ф-ция у ₀ (х )наз. собств. ф-цией, соответствующей собств. значению

Собств. значения граничной задачи (2), (3) действительны; каждому собств. значению соответствует единственная собств. ф-ция [в силу действительности q(x) и чисел h, H собственные ф-ции задачи (2), (3) можно выбрать действительными ]; собств. ф-ции у ₁ (х )и у 2 (х), соответствующие разл. собств. значениям, ортогональны, т. е.

Существует неограниченно возрастающая последовательность собств. значений граничной задачи (2), (3); при этом собств. ф-ция соответствующая собств. значению имеет ровно h нулей в интервале

Пусть -пространство Соболева, состоящее из заданных на сегменте комплекснозначных ф-ций, к-рые имеют абсолютно непрерывных производных и производную порядка т, суммируемую на сегменте Если то собств. значения граничной задачи (2), (3) при больших h удовлетворяют асимптотич. равенству (см. [4])

где -независимые от h числа,

не зависят от

Отсюда, в частности, следует, что если . то

где

Поэтому рядсходится. Его сумма наз. регуляризованным следом задачи (2), (3) (см. [13]):

Пусть ...- ортонормированные собств. ф-ции задачи (2), (3), соответствующие собсгв. значениям Для каждой ф-ции имеет место т. н. равенство Парсеваля

где

и справедлива ф-ла разложения по собств. ф-циям

где ряд сходится в метрике пространства Теоремы полноты и разложения для регулярной Ш.- Jl. з. впервые доказаны В. А. Стекловым [14].

Если ф-ция имеет вторую непрерывную производную и удовлетворяет граничным условиям (3), то справедливы следующие утверждения (см. [15]):

а) ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте к ф-ции

б) один раз продифференцированный ряд (4) сходится абсолютно и равномерно на сегменте

в) в каждой точке, в к-рой удовлетворяет к.-л. локальному условию разложения в ряд Фурье (напр., имеет ограниченную вариацию), дважды продифференцированный ряд (4) сходится к

Для любой ф-ции ряд (4) является равномерно равносходящимся с рядом Фурье ф-ции по cos пх, т. е.

Это утверждение означает, что разложение ф-ции по собств. ф-циям граничной задачи (2), (3) сходится при тех же условиях, что и разложение f(x) в ряд Фурье по косинусам (см. [1 ], [4]).

2. Рассматривается дифференц. ур-ние (2) на полуоси с граничным условием в нуле:

Ф-ция q(x) в (2) предполагается действительной и суммируемой в каждом конечном подынтервале интервала , а число Л действительным.

Пусть -решение ур-ния (2) с нач. условиями [так что удовлетворяет и граничному условию (5)]. Пусть -любая ф-ция из и

где b- произвольное конечное положит, число. Для каждой ф-ции q(x )и каждого числа Л существует, по крайней мере, одна, не зависящая от неубывающая ф-ция обладающая следующими свойствами:

а)существует ф-ция F_f(l), являющаяся пределом при в метрике[пространства р-измеримых ф-ций для к-рых

т. е.

б) имеет место равенство Парсеваля

Ф-ция наз. спектральной функцией (спектральной плотностью) граничной задачи (2), (5) (см. [9]-[11]).

Для спектральной ф-ции задачи (2), (5) справедлива асимптотич. ф-ла (см. [16]; в уточнённом виде см. [17]):

Справедлива следующая теорема равносходимости: для произвольной ф-ции пусть

(интегралы сходятся в метриках пространств соответственно);

тогда при каждом фиксированном сходится интеграл

абсолютно и равномерно относительно и

Пусть задача (2), (5) имеет дискретный спектр, т. е. её спектр состоит из счётного числа собств. значений

с единственной предельной точкой в бесконечности. При определ. условиях на ф-цию q(x )для ф-ции

т. е. числа собств. значений l, меньших справедлива асимптотич. ф-ла:

Наряду с решением вводится второе решение ур-ния (2), удовлетворяющее условиям , так что и образуют фундам. систему решений ур-ния (2). При фиксир. числах и b >0рассматривается дробно-линейная ф-ция:

Когда независимая переменная t пробегает действительную ось, точка описывает нек-рую окружность, ограничивающую круг Он всегда лежит в той же полуплоскости (нижней или верхней), что и С увеличением b круг сжимается, т. е. при круглежит целиком внутри круга Существует (при предельный круг или точка при этом если

то будет крутом, в противном случае - точкой (см. [10]). Если условие (6) выполняется для одного к.-л. недей-ствит. значения то оно выполняется для всех значений В случае предельного круга для всех значений все решения ур-ния (2) принадлежат пространству а в случае предельной точки для каждого недействит. значения это ур-ние имеет решение вида принадлежащее где- предельная точка

Если, где с -нек-рая положительная постоянная, то имеет место случай предельной точки (см. [19]); более общие результаты см. [20], [21 ]).

3. Рассматривается ур-ние (2) на всей оси в предположении, что -действительная суммируемая в каждом конечном подынтервале из ф-ция.

Пусть -решения ур-ния (2), удовлетворяющие условиям

Существует, по крайней мере, одна действительная симметрическая неубывающая матрица-функция

обладающая следующими свойствами:

а)для любой ф-циисуществуют ф-ции определённые равенствами

где предел - по метрике пространства

б) имеет место равенство Парсеваля

Лит.:1) Левитан Б. M., Саргсян И. С., Введение в спектральную теорию, M., 1970; 2) Левитан Б. M., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, M.- Л., 1950; 3) его же, Теория операторов обобщенного сдвига, M., 1973; 4) Марченко В. А., Операторы Штурма-Ли-увилля и их приложения. К.. 1977; 5) Титчмарш Э. Ч., Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, пер. с англ., т. I, M., 1960; 6) Коддингтон Э. А., Левинсон H., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., M., 1958; 7)Наймарк M. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., M., 1969; 8) Костюченко А. Г., Саргсян И. С., Распределение собственных значений, M., 1979; 9) We у 1 H., Uber gewohnliche lineare Differential-Gleichungen mit singularen Stellen und ihre Eigen-funktionen, "Gott. Nachr.", 1909, S. 37; 10) его же, Uber gewohnliche Differential - Gleichungen mit Singularitaten und der zugehorigen Ent-wicklungen willkiirlicher Funktionen, "Math. Ann.", 1910, Bd 68, S. 220; 11) его же, "Gott. Nachr.", 1910, S. 442; 12) Крейн M. Г., О неопределенном случае краевой задачи Штурма - Лиувилля в интервале (О, OG), "Изв. АН СССР. Сер. матем.". 1952, т. 16, № 4, с. 293; 13) Гельфанд П. M., Левитан Б. M., Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка, "ДАН СССР", 1953, т. 88, № 4. с. 593; 14) Стек лов В. А., О разложении данной функции в ряд по гармоническим функциям, "Сообщения Харьковского матем. об-ва", 1896, т. 5, в. 1-2, с. 60; 15) Левитан Б. M., Саргсян И. С., Некоторые вопросы теории уравнения Штурма - Лиувилля, "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 1. с. 3; 16) Марченко В. А., Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка, "ДАН СССР", 1950, т. 72, № 3, с. 457; 17) Левитан Б. M., Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1953, т. 17, № 4, с. 331; 1955, т. 19, № 1, с. 33; 18) Wet J., Mandl F., On the asymptotic distribution of eigenvalues, "Proc. Roy. Soc. Ser. A", 1950, v. 200, p. 572; 19) Titchmarsh E., On the uniqueness of the Green's function associated with a second-order differential equation, "Canad. J. Math.", 1949, v. 1, p. 191; 20) Levin-son N., "Casop. Pest. Mat. Fys.", 1949, v. 74, p. 17; 21) Sears D., Titchnarsh E., Some eigenfunction formulae, "Quart. J. Math. Oxford, ser.", 1950, v. 1, p. 165. Г. Ш Гусейнов Б. М. Левитан,

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.