Дифферинтеграл Вейля

В математике, дифферинтеграл Вейля это оператор, определённый на интегрируемых функциях f единичного круга ($2 \pi$ — периодичных) с нулевым средним (т. е. интеграл от f по периоду равен 0). Другими словами функция f может быть разложена в ряд Фурье:

$f(\varphi) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n e^{i n \varphi}$

где $a_0 = 0$, или:

$f(\varphi) = \sum'_{n} a_n e^{i n \varphi}$,

где символ $\sum'_{n}$ обозначает суммирование по всем натуральным $n$ кроме 0.

Интеграл Вейля порядка $\alpha > 0$ определяется на разложении в ряд Фурье как:

$f^{\alpha}(\varphi) = \sum'_{n} \frac{a_n e^{in\varphi}}{(i n)^{\alpha}}$,

а производная Вейля порядка $\beta> 0$ определяется как:

$f_{\beta}(\varphi) = \frac{\partial^n}{\partial \varphi ^n} f_{n-\beta}(\varphi)$.

Таким образом, дифферинтеграл Вейля определён полностью.

Условие $a_0 = 0$ необходимо в этих определениях, так как в противном случае возникало бы деление на 0.

Данное определение было введено Германом Вейлем в 1917 году.

Следует отметить, что интеграл Вейля совпадает с соответствующим интегралом Римана-Лиувилля

$f^{\alpha} \left(\varphi \right) = I^{\alpha} f(\varphi)$

для соответствующих функций $f(\varphi)$.

См. также

• Пространство Соболева

Ссылки

• Lizorkin, P.I. (2001), "Fractional integration and differentiation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104