Волновое уравнение

Волновое уравнение

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн.

Содержание

Вид уравнения

В общем случае волновое уравнение записывается в виде

\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2},

где ~\Delta — оператор Лапласа, ~u=u(x,t) — неизвестная функция, ~t\in \mathbb R — время, ~x\in \mathbb R^n — пространственная переменная, ~v — фазовая скорость.

В одномерном случае уравнение называется также уравнением колебания струны и записывается в виде

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.

Оператор Д’Аламбера

Разность \Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} называется оператором Д’Аламбера (разные источники используют разный знак). Таким образом, волновое уравнение записывается как: \square u = 0

Неоднородное уравнение

Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u  + f,

где f = f(x,t) — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является уравнение Лапласа (уравнение Пуассона в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к задаче на собственные значения для уравнения Лапласа, то есть к нахождению решений уравнения Гельмгольца, получающегося подстановкой

 u(x,t) = v(x) e^{i\omega t}\ или  u(x,t) = v(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ .

Решение волнового уравнения

Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (\mathbb{R}^1) — формула Д’Аламбера, для колебания мембраны (\mathbb{R}^2) — формула Пуассона.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad (функция f(x,t) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)

имеет вид

u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Волновое уравнение" в других словарях:

  • ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — в механике, линейное однородное дифф. ур ние в частных производных, описывающее распространение волн в среде; имеет вид: где t время, х, у, z пространственные декартовы координаты, W= W(х, у, z, t) ф ция, характеризующая возмущение среды в точке… …   Физическая энциклопедия

  • ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Напр., малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением где u(х,t) искомая функция отклонение… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Волновое уравнение — линейное в частных производных второго порядка уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее распространение в среде возмущений с постоянной скоростью. При выводе В. у. из уравнений газовой динамики пренебрегают вязкостью и объёмными силами …   Энциклопедия техники

  • волновое уравнение — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN wave equation …   Справочник технического переводчика

  • волновое уравнение — дифференциальное уравнение с частными производными 2 го порядка, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. Например, малые колебания натянутой струны описываются волновым уравнением ,где u (х, t)  искомая функция … …   Энциклопедический словарь

  • волновое уравнение — banginė lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. wave equation vok. Wellengleichung, f rus. волновое уравнение, n pranc. équation de l’onde, f; équation d’onde, f …   Fizikos terminų žodynas

  • ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение с частными производными вида описывающее различные колебательные процессы и процессы распространения волн. Для В. у., являющегося уравнением гиперболич. типа, обычно ставятся две задачи: Коши задача и смешанная задача. Классич. решением …   Математическая энциклопедия

  • Волновое уравнение —         дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:                  где х, у, z пространственные… …   Большая советская энциклопедия

  • волновое уравнение — волновое уравнение — линейное в частных производных второго порядка уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее распространение в среде возмущений с постоянной скоростью. При выводе В. у. из уравнений газовой динамики пренебрегают… …   Энциклопедия «Авиация»

  • волновое уравнение — волновое уравнение — линейное в частных производных второго порядка уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее распространение в среде возмущений с постоянной скоростью. При выводе В. у. из уравнений газовой динамики пренебрегают… …   Энциклопедия «Авиация»


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»